MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · בעיות ערך קיצון

א.1 בעיות קיצון עם מספרים

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
וידאו

א.1 בעיות קיצון עם מספרים

וידאו

א.2 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

וידאו

א.3 בעיות קיצון עם מרחב

וידאו

א.4 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.5 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.6 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.7 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.7 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.8 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.9 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.10 בעיות קיצון עם מספרים

וידאו

א.11 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

וידאו

א.12 בעיות קיצון עם מרחב

וידאו

א.13 בעיות קיצון עם תאלס

סיכום שיעור

  • שיעור בנושא פתרון בעיות ערך קיצון באמצעות בניית פונקציית מטרה של משתנה יחיד, גזירה ומציאת נקודות קיצון במצבים מילוליים הכוללים שני מספרים עם תנאי סכום ומכפלה במטרה למצוא מינימום/מקסימום.
  • להבין מהי בעיית קיצון
  • לדעת להגדיר פונקציית מטרה מתרכיבים מילוליים
  • לבודד משתנה ולהגדיר פונקציית מטרה במשתנה אחד
  • לגזור פונקציה ולהשוות לנקודת קיצון
  • לזהות נקודת מקסימום או מינימום בעזרת סימני נגזרת
  • להסביר תוצאה מילולית וערך פונקציית המטרה
  • הגדרת בעיית קיצון: הסבר מהי בעיית קיצון ואילו מצבים מתמטיים מייצגת, לדוגמה מקסום שטח, היקף, עלות, אורך.
  • שלבי פתרון בעיית קיצון: תהליך שלב אחרי שלב לפתרון הבעיה: הגדרת נעלמים, פונקציית מטרה במשתנה יחיד, גזירתה, מציאת נקודות קיצון, ובדיקת מקור או שפל.

תרגול קצר

מקסום מכפלה על פי סכום נתון

רמת קושי: קל

ממתין

נתון שסכום שני מספרים הוא 24. מצא את שני המספרים כך שמכפלת האחד בכפל השלישית של השני היא מקסימלית.

ערך קיצוןמקסימוםפונקציה עם משתנה אחדגזירה

רמז: הגדר את המשתנים, סימן את פונקציית המטרה במשתנה אחד, ואז גזור ושווה לאפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: המספרים הם 6 ו-18 והמכפלה המקסימלית היא 34995.

סמן X ו-Y כשני מספרים, X + Y = 24. פונקציית המטרה היא f = X * Y^3. בודד X = 24 - Y, הצב בפונקציה והפוך ל f(Y) = (24 - Y) * Y^3. גזור את f(Y), השווה לנגזרת לאפס, מצא את Y. בדוק את נקודת הקיצון וחשב את X. הערך המקסימלי הוא במכפלה כאשר X=6 ו- Y=18.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל מקסום מכפלה לפי סכום נתון

כיצד למצוא שני מספרים שסכומם קבוע והמכפלה של אחד ובעל השלישית של השני מקסימלית

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא שני המספרים X ו-Y המקסימליים לפי התנאי / המכפלה המקסימלית של X בכפלת Y בשלישית

  2. נתון 1

    שני מספרים X ו-Y

  3. נתון 2

    הסכום X + Y שווה 24

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    השתמש בתנאי הסכום לבידוד משתנה, הצב בפונקציית המטרה עם משתנה אחד, גזור לאפס, ומצא נקודת מקסימום.

  5. נוסחה

    בודדים את X לפי התנאי X + Y = 24

    X = 24 - Y
  6. משוואה

    הצבת X כ-24 פחות Y בתוך הפונקציה

    הצבת X כ-24 פחות Y בתוך הפונקציה

    f = (24 - Y) * Y^3f = (24 - Y) x Y^(3)
  7. פישוט

    גוזרים את הפונקציה ומציבים את הנגזרת שווה לאפס

    גוזרים את הפונקציה ומציבים את הנגזרת שווה לאפס

    f' = 72 * Y^2 - 4 * Y^3f' = 72 Y^(2) - 4 Y^(3)
  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    בודקים בין פתרונות הנגזרת את הערך המקיים מקסימום

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

קביעת המשתנים והנתונים

מה עושים

נגדיר את המספרים X ו-Y כשהסכום שלהם 24

למה

נתון שהתנאי הוא סכום שני המספרים כך שנוכל לקשר ביניהם

X ו-Y הם שני מספרים שמתקיימת השוויון X + Y = 24

2

בחירת שיטה

הגדרת פונקציית המטרה

מה עושים

נרצה למקסם את המכפלה X כפול Y בשלישית

למה

זו המטרה של הבעיה - למצוא את הערכים שמרבים את פונקציה זו

פונקציית המטרה היא f = X * Y^3

נוסחה / הצבה

f = X * Y^3f = X x Y^(3)
3

בניית משוואה

בידוד משתנה X

מה עושים

בודדים את X לפי התנאי X + Y = 24

למה

כדי להפוך את פונקציית המטרה לפונקציה במשתנה יחיד

X = 24 - Y

נוסחה / הצבה

X = 24 - Y

בידוד המשתנה אינו מאפשר גזירת פונקציה בשני משתנים

4

בניית משוואה

הצבת X בפונקציה

מה עושים

הצבת X כ-24 פחות Y בתוך הפונקציה

למה

כעת הפונקציה תלויה רק ב-Y, מתאים לגזירה

f(Y) = (24 - Y) * Y^3

נוסחה / הצבה

f = (24 - Y) * Y^3f = (24 - Y) x Y^(3)
5

פתרון

גזירת הפונקציה ושוויון לאפס

מה עושים

גוזרים את הפונקציה ומציבים את הנגזרת שווה לאפס

למה

למצוא נקודות קיצון של הפונקציה

f'(Y) = 24 * 3 * Y^2 - 4 * Y^3 = 0

נוסחה / הצבה

f' = 72 * Y^2 - 4 * Y^3f' = 72 Y^(2) - 4 Y^(3)

יש להחלץ מסקנות לגבי ערך Y שמתאים לנקודת מקסימום

6

פתרון

בדיקת נקודת המקסימום

מה עושים

בודקים בין פתרונות הנגזרת את הערך המקיים מקסימום

למה

כדי לוודא שנמצא את הערך המקסימלי ולא מינימלי

Y = 18 מתאימה כמקסימום, Y=0 לא מתאימה

בדיקה עם ערכים קרובים ונגזרת שביעית משנית מוודאת נקודת מקסימום

פתרונות כלליים

  • מקסום מכפלה על פי סכום נתון: סמן X ו-Y כשני מספרים, X + Y = 24. פונקציית המטרה היא f = X * Y^3. בודד X = 24 - Y, הצב בפונקציה והפוך ל f(Y) = (24 - Y) * Y^3. גזור את f(Y), השווה לנגזרת לאפס, מצא את Y. בדוק את נקודת הקיצון וחשב את X. הערך המקסימלי הוא במכפלה כאשר X=6 ו- Y=18.
הפריט הקודםהפריט הבא