MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · בעיות ערך קיצון

א.8 בעיות קיצון גרפים

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
4 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א.5 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.6 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.7 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.7 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.8 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.9 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.10 בעיות קיצון עם מספרים

וידאו

א.11 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

וידאו

א.12 בעיות קיצון עם מרחב

וידאו

א.13 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.14 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.15 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.16 בעיות קיצון גרפים

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בפתרון בעיות מציאת ערך קיצון לפונקציית מרחק בין שתי נקודות על גרפים של פונקציות שונות, באמצעות גזירה ומציאת נקודות מינימום.
  • להכין ולנסח פונקציית מטרה בבעיית ערך קיצון גרפית
  • לחשב נגזרת של פונקציות מורכבות הכוללות חזקות ושורשים
  • לפתור משוואות נגזרת שווה לאפס כדי למצוא נקודות קריטיות
  • לזהות האם הנקודה הקריטית היא מינימום באמצעות בדיקת סימן נגזרת שנייה או בדיקת ערך
  • לחשב מרחק בין נקודות גרפיות ולמצוא משוואת ישר אנכי המתאים
  • פונקציות נתונות והגדרת הבעיה: השיעור מתחיל מהגדרת שתי פונקציות: אחת מתארת y=T^2+6 ואחת y=4√T. מטרת הבעיה היא לחבר אותן עם קו אנכי כך שהמרחק בין הנקודות על שתי הפונקציות יהיה מינימלי.
  • גזירה ופתרון משוואה: פונקציית המטרה מוגדרת כהפרש בין שתי הפונקציות, גוזרים אותה ומגדירים את הנגזרת שווה לאפס כדי למצוא נקודות קיצון. מבצעים פישוטים ונוסחאות עזר כדי להגיע לערך של T שיתן מינימום.
  • מסקנות וחישובי נוספות: לאחר מציאת נקודת המינימום, מחשבים את ערכי הפונקציות בנקודה, את משוואת הישר האנכי שעובר בנקודה, ואת המרחק המינימלי בין הנקודות.

תרגול קצר

מצא את ערך הקיצון של פונקציית המרחק

רמת קושי: קל

ממתין

נ gegeven שתי פונקציות y=T^2+6 ו-y=4√T, מצא את ערך ה-T שממזער את המרחק האנכי ביניהן.

ערך קיצוןפונקציותנגזרת

רמז: הגדר פונקציית מטרה כ-f(T)=(T^2+6)-4√T. גזור והשווה לאפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: 1

הגדר f(T)=(T^2+6)-4√T נחשב את הנגזרת: f'(T) = 2T - 2/√T שווה לאפס: 2T = 2/√T כפול √T: 2T√T = 2 חלק ל-2: T√T = 1 כתוב כ-T בשלישית: T^(3/2) = 1 העלה בריבוע: T^3=1 T=1

מצא נקודת מינימום ומשוואת ישר

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהתאם לבעיה הקודמת, לאחר שמצאת את T=1, חשב את ערכי הפונקציות בנקודה, את משוואת הישר האנכי, ואת המרחק המינימלי בין הנקודות.

ערך קיצוןגרפיםמינימוםשרטוט

רמז: חשב את y בפונקציות y=T^2+6 ו-y=4√T עבור T=1. משוואת ישר היא X=1, המרחק ההפרש ב-y.

פתרון מלא

תשובה סופית: משוואת הישר: X=1; המרחק המינימלי: 3; נקודות: (1,7) ו-(1,4)

עבור T=1: כשרות y_ראשון = 1^2 + 6 = 7 y_שני = 4*√1 = 4 משוואת הישר האנכי היא X=1 המרחק = 7 - 4 = 3

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון בעיית ערך קיצון – מינימום מרחק אנכי

בסוגיית שתי פונקציות ושרטוט ישר אנכי

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערך T שממזער את ההפרש y1 - y2

  2. נתון 1

    נתון 1

    y1 = T^2 + 6
  3. נתון 2

    נתון 2

    y2 = 4√T
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    הגדר פונקציית מטרה כפרש בין הפונקציות, גזור, פתר משוואה ונקוט בבדיקת מינימום.

  5. נוסחה

    גזור את הפונקציה לקבלת f'(T)

    f'(T) = 2T - 2 / sqrt(T)f'(T) = 2T - 2/√Tf'(T) = 2T - (2)/(T)
  6. משוואה

    השווה את f'(T) לאפס ופתור את המשוואה

    השווה את f'(T) לאפס ופתור את המשוואה

    2T = 2 / sqrt(T)2T = 2/√T2T = (2)/(T)
  7. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    קיבלת T=1 כמינימום

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת הפונקציות

מה עושים

קיבלנו שתי פונקציות y1 ו-y2 כתלות ב-T

למה

נרצה למצוא את המרחק האנכי בין נקודות שעל שתי הפונקציות הללו

הפונקציה הראשונה: y1 = T^2 + 6, השנייה: y2 = 4√T

2

בחירת שיטה

הגדרת פונקציית מטרה

מה עושים

נבנה את פונקציית ההפרש f(T) = y1 - y2

למה

פונקציית מטרה זו מייצגת את המרחק האנכי שאנחנו מחפשים למזער

f(T) = (T^2 + 6) - 4√T

נוסחה / הצבה

f(T) = T^2 + 6 - 4 sqrt(T)f(T) = (T^2 + 6) - 4√Tf(T) = T^(2) + 6 - 4T
3

בניית משוואה

נגזרת פונקציית המטרה

מה עושים

גזור את הפונקציה לקבלת f'(T)

למה

נקודת הקיצון מתקבלת מהנגזרת השווה לאפס

f'(T) = 2T - 2/√T

נוסחה / הצבה

f'(T) = 2T - 2 / sqrt(T)f'(T) = 2T - 2/√Tf'(T) = 2T - (2)/(T)

הזהר בעת גזירת שורש T

4

פתרון

מציאת נקודת הקיצון

מה עושים

השווה את f'(T) לאפס ופתור את המשוואה

למה

כדי לקבל את ערך ה-T הממזער את הפונקציה

2T = 2/√T => T√T = 1 => T=1

נוסחה / הצבה

2T = 2 / sqrt(T)2T = 2/√T2T = (2)/(T)

העלה בריבוע לקבלת T בשלישית = 1

5

תשובה

קבלת הערך הסופי

מה עושים

קיבלת T=1 כמינימום

למה

זוהי נקודת הערך הקיצוני המזער את המרחק האנכי

T=1 היא נקודת המינימום המבוקשת

פתרונות כלליים

  • מצא את ערך הקיצון של פונקציית המרחק: הגדר f(T)=(T^2+6)-4√T נחשב את הנגזרת: f'(T) = 2T - 2/√T שווה לאפס: 2T = 2/√T כפול √T: 2T√T = 2 חלק ל-2: T√T = 1 כתוב כ-T בשלישית: T^(3/2) = 1 העלה בריבוע: T^3=1 T=1
  • מצא נקודת מינימום ומשוואת ישר: עבור T=1: כשרות y_ראשון = 1^2 + 6 = 7 y_שני = 4*√1 = 4 משוואת הישר האנכי היא X=1 המרחק = 7 - 4 = 3
הפריט הקודםהפריט הבא