וידאו · בעיות ערך קיצון
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א.8 בעיות קיצון גרפים
א.9 בעיות קיצון גרפים
א.10 בעיות קיצון עם מספרים
א.11 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח
א.12 בעיות קיצון עם מרחב
א.13 בעיות קיצון עם תאלס
א.14 בעיות קיצון עם פרמטר
א.15 בעיות קיצון גרפים
א.16 בעיות קיצון גרפים
מציאת הנפח המקסימלי של מעמד הטושים
רמת קושי: קל
בהינתן ריבוע 30 ס"מ על 30 ס"מ, בגזרה של ריבועים קטנים בגודל x מכל פינה מרים את הדפנות ליצירת מעמד פתוח מלמעלה. כתבו את פונקציית הנפח כמקדם משמעותי של x, וגזרו את הפונקציה. מצאו את ערך ה-x בקירוב שמגדיל את הנפח ומצאו את ערך הנפח המקסימלי.
רמז: הנפח הוא אורך כפול רוחב כפול גובה: הנחת עומק x והקטנת הצדדים ב-2x. כתבו ונגזרו את הפונקציה. בדקו את תחום x והציבו כנדרש.
תשובה סופית: x = 5 ס"מ, נפח מרבי 2000 סמ"ק
הנפח הוא (30 - 2x)^2 * x שפישטנו ל-900x - 120x^2 + 4x^3. נגזרת הפונקציה היא 900 - 240x + 12x^2. מציאת נקודות קיצון נותנת x ≈ 5. הצבת x=5 נותנת את הנפח המקסימלי 2000 סמ"ק.
חישוב הנפח המקסימלי באמצעות גזירת פונקציית הנפח
לכתוב את ביטוי הנפח כפונקציה בפונקציית x, לגזור, למצוא נקודות קיצון ולהציב חזרה לבחינת הערך
V = 900x - 120x^2 + 4x^3מציבים x=5 בפונקציית הנפח
מחשבים נגזרת dV/dx
dV/dx = 900 - 240x + 12x^2השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
הבנת מבנה הבעיה והמשמעות של x בגזירה והרמה
למה
לזהות את הבסיס והגובה לפונקציית הנפח
ריבוע בסיס 30 ס"מ. גוזרים ריבועים ב- x מכל פינה, ומרימים דפנות גובה x.
בחירת שיטה
מה עושים
מחשבים אורך ורוחב אחרי הגזירה כ-30-2x
למה
כדי לקבל ביטוי אלגברי של נפח בהתייחס ל-x
הנפח הוא מכפלת האורך, הרוחב והגובה: V = (30-2x)^2 * x
בניית משוואה
מה עושים
פותחים סוגריים ומרכיבים פולינום
למה
להקל על גזירת הפונקציה מאוחר יותר
פונקציית הנפח הופכת ל־V = 900x - 120x^2 + 4x^3
נוסחה / הצבה
V = 900x - 120x^2 + 4x^3פתרון
מה עושים
מחשבים נגזרת dV/dx
למה
למצוא נקודות שבהן הנפח יכול להיות מקסימלי או מינימלי
dV/dx = 900 - 240x + 12x^2
נוסחה / הצבה
dV/dx = 900 - 240x + 12x^2פתרון
מה עושים
מוצאים x כך ש-dV/dx=0
למה
נקודות אלו הן מועמדות לאופטימום
לפתור 900 - 240x + 12x^2 = 0 ולקבל x ≈ 5
בדקו תחום הגיוני: 0 < x < 15
תשובה
מה עושים
מציבים x=5 בפונקציית הנפח
למה
לקבל את ערך הנפח המקסימלי
V = 900*5 - 120*5^2 + 4*5^3 = 2000 סמ"ק