וידאו · בעיות ערך קיצון
א.16 בעיות קיצון גרפים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור בנושא ניתוח בעיות ערך קיצון באמצעות גרפים של פונקציות ריבועיות ומציאת ערך מקסימלי של שטח מתחת לגרף פנימי.
- להבין כיצד למפות פונקציה פרבולית ולהשתמש בסימטריה שלה לפישוט הבעיה.
- לנתח שטח חסום מתחת לפרבולה ולהגדיר משתנה מתאים.
- לחשב נגזרת של פונקציה מורכבת ולהשתמש בנגזרת למציאת נקודות קיצון.
- להעריך את סימני הנגזרת ולזהות נקודת מקסימום מקומי.
- להבין את השימוש בביטויים אלגבריים לפתיחת סוגריים ופישוט הביטוי לפני גזירה.
- ניתוח גרף הפרבולה: הגרף מייצג את הפונקציה y=9−x², והנקודות על ציר ה-x הן −3 ו־3. ניתן לנצל סימטריה כדי לפשט מציאת השטח.
- בניית משוואות השטח: חשבו את אורך הבסיס כפונקציה של t וכתבו את שטח הצורה המוגדרת באמצעות הביטוי t+(3) כפונקציה של t.
- חישוב נגזרת ובדיקת נקודות קיצון: גזרו את פונקציית השטח, זיהוי נקודת אפס נגזרת וטיפול בסימני הנגזרת לשם איתור מקסימום.
תרגול קצר
חישוב שטח מקסימלי של צורה בפרבולה
רמת קושי: קל
נתון גרף של y= 9 - x², נמצא אורך בסיס הצורה בתוך תחום x בין -3 ל-3 שנקרא t, ונחשב את השטח כי הוא שווה 2t כפול (9 - t²). מצא את ערך t שממקסם את השטח.
רמז: כתוב את שטח הצורה כפונקציה של t, פתח סוגריים ואז גזור את הפונקציה ושווה לאפס.
פתרון מלא
תשובה סופית: t = שורש 3 (כבערך 1.732)
שטח הצורה הוא A(t) = 2t*(9 - t²) = 18t - 2t³. נגזור: A'(t) = 18 - 6t². נניח A'(t) = 0: 18 - 6t² = 0, 6t² = 18, t² = 3, t = √3. מדובר בנקודת מקסימום בטווח הנתון.
דרך הפתרון
מציאת ערך t למקסימום שטח בצורה בתוך פרבולה
גרף y=9−x² ומשימת חישוב שטח מקסימלי
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערך t שממקסם את השטח תחת הפרבולה / שווי השטח המקסימלי
- נתון 1
נתון 1
y=9 - x² - נתון 2
טווח x שבין -3 ל-3
- נתון 3
אורך בסיס הצורה הוא 2t
- רעיון
הרעיון המרכזי
הגדרת פונקציית השטח כפונקציה של t, נגזרתה שווה לאפס לצורך מציאת נקודות קיצון ובדיקת סימנים
- נוסחה
נגדיר שטח הצורה כפונקציה A(t) = 2t * (9 - t²).
A(t) = 2t * (9 - t^2)A(t)=2t*(9 - t^2)A(t) = 2t x (9 - t^2) - משוואה
נגזור את A(t): A'(t) = 18 - 6t².
נגזור את A(t): A'(t) = 18 - 6t².
A'(t) = 18 - 6t^2 - פישוט
נמצא t כך ש־18 - 6t² = 0, כלומר t² = 3 והפתרון t = שורש 3.
נמצא t כך ש־18 - 6t² = 0, כלומר t² = 3 והפתרון t = שורש 3.
18 - 6t^2 = 06t^2 = 18
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת השטח כפונקציה של t
זיהוי נתונים
הגדרת השטח כפונקציה של t
מה עושים
נגדיר שטח הצורה כפונקציה A(t) = 2t * (9 - t²).
למה
כי אורך הבסיס הוא 2t והגובה לפי פונקציית הפרבולה.
נוסחה / הצבה
A(t) = 2t * (9 - t^2)A(t)=2t*(9 - t^2)A(t) = 2t x (9 - t^2)להכיר את בניית שטח של מלבן או משולש בפונקציות.
2בחירת שיטה
פתח סוגריים לפישוט
בחירת שיטה
פתח סוגריים לפישוט
מה עושים
נפתח את הביטוי: 2t*9 - 2t*t² = 18t - 2t³.
למה
כדי לפשט את הפונקציה ולהקל על הגזירה.
נוסחה / הצבה
A(t) = 18t - 2t^3פיתחו תמיד לפני גזירה.
3בניית משוואה
גזור את פונקציית השטח
בניית משוואה
גזור את פונקציית השטח
מה עושים
נגזור את A(t): A'(t) = 18 - 6t².
למה
כדי למצוא את נקודות הקיצון שבהן הנגזרת מתאפסת.
נוסחה / הצבה
A'(t) = 18 - 6t^2נגזרת חזקות פונקציה מוכרת.
4פתרון
פתור את המשוואה A'(t)=0
פתרון
פתור את המשוואה A'(t)=0
מה עושים
נמצא t כך ש־18 - 6t² = 0, כלומר t² = 3 והפתרון t = שורש 3.
למה
מזהים את נקודת הקיצון.
נוסחה / הצבה
18 - 6t^2 = 06t^2 = 18t^2 = 3t = sqrt(3)t = √3בחירת הפתרון החיובי כי t טווח חיובי.
5בדיקה
בדוק סימני נגזרת לשמירת מקסימום
בדיקה
בדוק סימני נגזרת לשמירת מקסימום
מה עושים
בדוק את הערכים הסביבתיים כדי לוודא שמדובר במקסימום.
למה
כדי לא לשגות בין מקסימום למינימום.
נגזרת משנה סימן מפלוס למינוס היא מקסימום.
פתרונות כלליים
- חישוב שטח מקסימלי של צורה בפרבולה: שטח הצורה הוא A(t) = 2t*(9 - t²) = 18t - 2t³. נגזור: A'(t) = 18 - 6t². נניח A'(t) = 0: 18 - 6t² = 0, 6t² = 18, t² = 3, t = √3. מדובר בנקודת מקסימום בטווח הנתון.