וידאו · בעיות ערך קיצון
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א.9 בעיות קיצון גרפים
א.10 בעיות קיצון עם מספרים
א.11 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח
א.12 בעיות קיצון עם מרחב
א.13 בעיות קיצון עם תאלס
א.14 בעיות קיצון עם פרמטר
א.15 בעיות קיצון גרפים
א.16 בעיות קיצון גרפים
חישוב שטח מלבן במקסימום במשולש שווה שוקיים
רמת קושי: קל
נתון משולש שווה שוקיים עם צלעות 10, 10 ו-12. בתוך המשולש נמצא מלבן ששטחו מקסימלי. הגדירו משתנים, מצאו את פונקציית השטח, וקבעו מהו השטח המקסימלי של המלבן.
רמז: השתמשו במשפט תאלס כדי לקשור בין אורך המלבן (X) לגובהו (Y), ואז גזרו ופתרו את פונקציית השטח.
תשובה סופית: השטח המקסימלי של המלבן הוא 24.
הגדרנו X ו-Y כשני הניצבים של המלבן. פונקציית השטח היא S = X * Y. לפי משפט תאלס, היחס בין חצי X ל-6 הוא שווה ליחס בין 8-Y ל-8, כלומר X/6 = (8-Y)/8. פתרנו וקיבלנו X = 12 - 1.5Y. הצבנו בפונקציה: S = Y(12 - 1.5Y) = 12Y - 1.5Y^2. נגזרנו וקבענו בשווה לאפס: 12 - 3Y = 0 לכן Y = 4. הצבנו ב-X: X = 12 - 1.5*4 = 6. השטח: 6 * 4 = 24.
שימוש במשפט תאלס וערך קיצון
נמצא קשר בין X ל-Y באמצעות משפט תאלס, נכתוב פונקציית שטח, נגזור ונמצא את הערך המקסימלי.
X = 12 - 1.5 Yמציבים את הנתונים במשוואה.
S = X * Y = Y(12 - 1.5Y) = 12Y - 1.5Y^2
S = 12 Y - 1.5 Y^2נגזור: S' = 12 - 3Y, נגדיר לאפס ונפתור: 12 - 3Y = 0 => Y = 4
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
משולש שווה שוקיים עם שוקיים באורך 10 ובסיס 12
למה
גדלי המשולש מאפשרים לקבוע את הגובה והיחסים במלבן
אורך השוקיים הוא 10, הבסיס 12, כך שהגובה הוא 8
זיהוי נתונים
מה עושים
המלבן בתוך המשולש עם צלעות X ו-Y
למה
יש להגדיר משתנים לפונקציית השטח
X הוא אורך המלבן, Y הוא גובה המלבן
בחירת שיטה
מה עושים
משפט תאלס נותן יחס בין חצי X ל-6 ו-8-Y ל-8
למה
מאפשר להציג את X כפונקציה של Y ולהפחית משתנים לפונקציית מטרה יחידה
חצי X חלקי 6 שווה ל-(8 - Y) חלקי 8
נוסחה / הצבה
X / 26 = (8 - Y)8(X / 2) / 6 = (8 - Y) / 8((X)/(2))/(6) = (8 - Y)/(8)המטרה לבודד X בפונקציה של Y
בניית משוואה
מה עושים
נכפיל ונבודד X
למה
להחליף X בפונקציית Y ולהוריד משתנה
X = 12 - 1.5Y
נוסחה / הצבה
X = 12 - 1.5 Yפתרון
מה עושים
S = X * Y = Y(12 - 1.5Y) = 12Y - 1.5Y^2
למה
פונקציית השטח תלויה רק במשתנה Y
שטח = 12Y - 1.5Y^2
נוסחה / הצבה
S = 12 Y - 1.5 Y^2פתרון
מה עושים
נגזור: S' = 12 - 3Y, נגדיר לאפס ונפתור: 12 - 3Y = 0 => Y = 4
למה
מציאת נקודת קיצון פונקציה
נציב Y=4, אז X=12 - 1.5*4=6, שטח = 6*4=24
נקודת קיצון מחברת למציאת השטח המקסימלי