וידאו · בעיות ערך קיצון
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א.7 בעיות קיצון גרפים
א.7 בעיות קיצון עם פרמטר
א.8 בעיות קיצון גרפים
א.9 בעיות קיצון גרפים
א.10 בעיות קיצון עם מספרים
א.11 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח
א.12 בעיות קיצון עם מרחב
א.13 בעיות קיצון עם תאלס
א.14 בעיות קיצון עם פרמטר
א.15 בעיות קיצון גרפים
א.16 בעיות קיצון גרפים
חישוב ערך פונקציית מטרה לנעלמים נתונים
רמת קושי: קל
אם X=2 ו-Y=8, חשב את ערך הפונקציה f(x,y) = X בשלישית כפול Y בריבוע.
רמז: חשב את X^3 ואז Y^2 ולאחר מכן הכפל בין הערכים.
תשובה סופית: 512
X בשלישית הוא 8, Y בריבוע הוא 64. המכפלה היא 8 כפול 64 = 512.
מציאת המספרים המקסימליים בהינתן סכום קבוע
רמת קושי: בינוני
שני מספרים חיוביים שסכומם 10. מצא את X ו-Y כך שמכפלת X בשלישית ב-Y בריבוע תהיה מקסימלית.
רמז: הגדר את Y=10-X, כתוב את פונקציית המטרה כמוכפל של X, ובצע נגזרת ומצא נקודות קיצון.
תשובה סופית: X=6, Y=4
נגדיר Y=10-X. פונקציית המטרה היא f(x)=x^3*(10-x)^2. נגזור ונקבע שווה לאפס. פתרון הוא X=6, Y=4. בדוק תחום חיובי, זה תקף.
פתרון בעיית קיצון עם בדיקת סימני נגזרת
רמת קושי: מאתגר
נתונים שני מספרים חיוביים שסכומם 10. מצא את המספרים שממקסמים את פ(x)=x^3*(10-x)^2, והראה כי זה אכן מקסימום על ידי בדיקת סימני הנגזרת סביב הנקודה.
רמז: מצא נקודת קיצון, בדוק ערכים ימינה ושמאלה מהנקודה לבדיקה סימנים של הנגזרת.
תשובה סופית: X=6, Y=4, מקסימום
נקודת קיצון נמצאה ב-X=6. בדיקת נגזרת משמאל ל-6 תקבל ערך שלילי, מימין חיובי, מה שאינו מתאים – במציאת מינימום/מקסימום יש להקפיד על סימנים נכונים. לאחר בדיקה עולה כי מדובר בנקודת מקסימום.
בעיית קיצון במכפלה עם סכום קבוע
רמת קושי: בגרות
סכום שני מספרים חיוביים הוא 10. מצא את המספרים כך שהמכפלה של המספר הראשון בחזקה 3 והמספר השני בריבוע היא מקסימלית.
רמז: כתוב את פונקציית המטרה כ-X^3*(10 - X)^2, בחד את המשוואה, גזור, והצבע את נקודות הקיצון.
תשובה סופית: 6 ו-4
פונקציה f(x)=x^3(10-x)^2. נגזרת היא: f'(x)=3x^2(10-x)^2 - 2x^3(10-x). הוצא גורמים משותפים, קבל נקודת קיצון ב-X=6. מכאן Y=4. המספרים הם 6 ו-4 למקסימה.
מציאת שני מספרים חיוביים שסכומם 10, למקסם את פונקציית היעד
סכום שני מספרים חיוביים: X + Y = 10X, Y > 0בודדים את Y מהקשר ובונים פונקציית מטרה שהינה פונקציה של X בלבד, לאחר מכן גוזרים ומאמצים בדיקות
X + Y = 10מחשבים את הנגזרת של f(X) לפי X עם כלל מכפלה.
f'(x) = 3x^2*(10-x)^2 - 2x^3*(10-x)f'(x)=3x^(2)(10-x)^(2) - 2x^(3)(10-x)f'(x) = 3x^(2) (10 - x)^(2) - 2x^(3) (10 - x)מוציאים גורמים משותפים ופותרים את המשוואה f'(x) = 0 עבור X בינוני (חיובי).
מחשבים Y=10-6=4.
6^3 * 4^2 = 8646^(3) x 4^(2) = 864השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
ידוע שסכום שני המספרים הוא 10, ושהם חיוביים.
למה
תנאי הסכום מאפשר לנו לבודד נעלם אחד ולהפחית למשתנה אחד בלבד.
X + Y = 10
נוסחה / הצבה
X + Y = 10יש להבהיר שמדובר במגבלה על תחום הפונקציה.
בחירת שיטה
מה עושים
בודדים את Y כמונח של X: Y = 10 - X ומציבים בפונקציית ההמטרה שאנו רוצים למקסם.
למה
פונקציית המטרה צריכה להתבטא במשתנה אחד לנוחות חישוב הנגזרת.
f(X) = X^3 * (10 - X)^2
נוסחה / הצבה
f(x) = x^3 * (10 - x)^2f(x) = x^(3) (10 - x)^(2)בחירת נעלם בידוד מתחשבת בהפשטת החזקה.
בניית משוואה
מה עושים
מחשבים את הנגזרת של f(X) לפי X עם כלל מכפלה.
למה
כדי למצוא נקודות קיצון יש לגזור את הפונקציה ולקבוע את הנגזרת לאפס.
f'(x) = 3x^2 (10 - x)^2 - 2x^3 (10 - x)
נוסחה / הצבה
f'(x) = 3x^2*(10-x)^2 - 2x^3*(10-x)f'(x)=3x^(2)(10-x)^(2) - 2x^(3)(10-x)f'(x) = 3x^(2) (10 - x)^(2) - 2x^(3) (10 - x)זכור להכפיל גם בנגזרת הפנימית של (10-x).
פתרון
מה עושים
מוציאים גורמים משותפים ופותרים את המשוואה f'(x) = 0 עבור X בינוני (חיובי).
למה
פתרון המשוואה מניב את הערכים של X שיכולים למקסם את הפונקציה.
פתרונות מתקבלים ב-X=0, X=10, X=6; רק X=6 תקף בתנאי חיוביות.
פסול X=0 ו-X=10 בגלל תנאי חיוביות של המספרים.
תשובה
מה עושים
מחשבים Y=10-6=4. מציבים ב-f(X,Y)=6^3 * 4^2 ומקבלים את המכפלה המקסימלית.
למה
קיבלנו את המספרים שממקסמים את פונקציית המטרה לפי התנאים.
X=6, Y=4, f(6,4)=6^3 * 4^2 = 864
נוסחה / הצבה
6^3 * 4^2 = 8646^(3) x 4^(2) = 864בדוק שהמספרים חיוביים ונכנסים לגבולות הבעיה.