MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · בעיות ערך קיצון

א.7 בעיות קיצון עם פרמטר

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
3 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א.4 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.5 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.6 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.7 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.7 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.8 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.9 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.10 בעיות קיצון עם מספרים

וידאו

א.11 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

וידאו

א.12 בעיות קיצון עם מרחב

וידאו

א.13 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.14 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.15 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.16 בעיות קיצון גרפים

סיכום שיעור

  • הסבר על שיטה לזיהוי נקודות קיצון בבעיות פרמטריות באמצעות הנגזרת השנייה בשימוש מוגבל.
  • להבין מתי ולמה משתמשים בנגזרת השנייה לזיהוי נקודות קיצון בבעיות פרמטריות
  • להכיר את המגבלות וההגבלות בשיטה זו
  • ליישם את השיטה בהתאם למגבלות שניתנו
  • הקדמה לשיטה: הצגת שיטה לזיהוי נקודות קיצון בעזרת שימוש בנגזרת השנייה כאשר קשה להסיק מניתוחים בנגזרת הראשונה.
  • דרך הפעולה בשיטה: הפעלת השיטה ע"י גזירת הנגזרת הראשונה ושימוש בסימן התוצאה להכרעה האם מדובר במינימום או מקסימום.
  • מגבלות השיטה וחששות: דגש על כך שהנגזרת השנייה יכולה להיות קבועה ולא תמיד מתאימה, ולכן לא מומלץ להשתמש בה ברוב המקרים.

תרגול קצר

זיהוי נקודת קיצון בעזרת נגזרת שנייה

רמת קושי: קל

ממתין

פונקציה f(x) = x^3 - a x^2 + b x, כאשר a,b פרמטרים. נתון כי הנגזרת הראשונה היא f'(x) = 3x^2 - 2 a x + b. עבור נקודת קיצון x_c, השתמש בנגזרת השנייה כדי לקבוע אם x_c היא נקודת מינימום או מקסימום.

נגזרת שנייהנקודות קיצוןפרמטריםבעיות ערך קיצון

רמז: חשב את הנגזרת השנייה f''(x), הצב את x_c וראה את סימן התוצאה.

פתרון מלא

תשובה סופית: f''(x_c) > 0 => מינימום, f''(x_c) < 0 => מקסימום

הנגזרת השנייה היא f''(x) = 6x - 2a. הצב את x = x_c בנגזרת השנייה. אם f''(x_c) > 0 אז נקודת מינימום, אם f''(x_c) < 0 אז נקודת מקסימום.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

זיהוי נקודת קיצון בעזרת נגזרת שנייה

שימוש בשיטה עבור פונקציות פרמטריות

8 תחנות6 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא סוג נקודת הקיצון: מינימום או מקסימום

  2. נתון 1

    פונקציה f(x) עם פרמטרים

  3. נתון 2

    נגזרת ראשונה f'(x) ידועה

  4. נתון 3

    נתון 3

    נקודת קיצון x_c
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    גזירת הנגזרת הראשונה ופיקוח על סימן הנגזרת השנייה בנקודת הקיצון

  6. נוסחה

    קבע את ערך x_c בו הנגזרת הראשונה מתאפסת.

    3x^2 - 2a x + b = 03x^2 - 2 a x + b = 03x^(2) - 2 a x + b = 0
  7. משוואה

    הציב x_c בנגזרת השנייה וחישב את f''(x_c)

    הציב x_c בנגזרת השנייה וחישב את f''(x_c)

  8. פישוט

    אם f''(x_c) > 0 אז מינימום, אם f''(x_c) < 0 אז מקסימום

    אם f''(x_c) > 0 אז מינימום, אם f''(x_c) < 0 אז מקסימום

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת הפונקציה ונגזרותיה

מה עושים

יש להכיר את הפונקציה ואת נגזרותיה.

למה

כדי להבין את התנהגות הפונקציה באזור הקיצון.

הפונקציה נתונה יחד עם נגזרותיה עד הסדר השני.

2

זיהוי נתונים

זיהוי נקודת קיצון

מה עושים

קבע את ערך x_c בו הנגזרת הראשונה מתאפסת.

למה

נקודות קיצון הן הערכים בהם הנגזרת הראשונה שווה לאפס.

מציאת הפתרונות למשוואה f'(x) = 0.

נוסחה / הצבה

3x^2 - 2a x + b = 03x^2 - 2 a x + b = 03x^(2) - 2 a x + b = 0

בדוק שכל הפתרונות בתחום הגדרת הפונקציה.

3

בחירת שיטה

חישוב הנגזרת השנייה

מה עושים

חשב את הנגזרת השנייה f''(x)

למה

הנגזרת השנייה נותנת מידע על קמירות הפונקציה בנקודה.

גזור את הנגזרת הראשונה כדי לקבל את הנגזרת השנייה.

נוסחה / הצבה

f''(x) = 6x - 2af''(x) = 6x - 2 a

ודא שהנגזרת השנייה היא נגזרת מדויקת של f'(x).

4

בניית משוואה

בחינת סימן הנגזרת השנייה בנקודת הקיצון

מה עושים

הציב x_c בנגזרת השנייה וחישב את f''(x_c)

למה

הסימן של f''(x_c) קובע את סוג נקודת הקיצון.

החלף את x_c בתוך הנגזרת השנייה כדי לקבל ערך מספרי.

שים לב לדיוק בחישוב כדי לא לטעות בקביעה.

5

פתרון

הסק מסקנה משימת הסימן

מה עושים

אם f''(x_c) > 0 אז מינימום, אם f''(x_c) < 0 אז מקסימום

למה

הנגזרת השנייה החיובית מצביעה על קעירות כלפי מעלה (מינימום) ושלילית - קעירות כלפי מטה (מקסימום).

שימוש בכלל הנגזרת השנייה לזיהוי סוג נקודת הקיצון.

זכור שמספרים שווים לאפס לא מזהים מין או מקסימום.

6

תשובה

קביעת סוג נקודת הקיצון

מה עושים

כתוב את המסקנה המתאימה בהתאם לסימן שחושב.

למה

זו התשובה הסופית לבעיה.

נקודת קיצון בזיהוי סוגה לפי הנגזרת השנייה.

פתרונות כלליים

  • זיהוי נקודת קיצון בעזרת נגזרת שנייה: הנגזרת השנייה היא f''(x) = 6x - 2a. הצב את x = x_c בנגזרת השנייה. אם f''(x_c) > 0 אז נקודת מינימום, אם f''(x_c) < 0 אז נקודת מקסימום.
הפריט הקודםהפריט הבא