וידאו · בעיות ערך קיצון
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א.6 בעיות קיצון עם פרמטר
א.7 בעיות קיצון גרפים
א.7 בעיות קיצון עם פרמטר
א.8 בעיות קיצון גרפים
א.9 בעיות קיצון גרפים
א.10 בעיות קיצון עם מספרים
א.11 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח
א.12 בעיות קיצון עם מרחב
א.13 בעיות קיצון עם תאלס
א.14 בעיות קיצון עם פרמטר
א.15 בעיות קיצון גרפים
א.16 בעיות קיצון גרפים
זיהוי נקודות חיתוך של פונקציות שורש
רמת קושי: קל
נתונות שתי פונקציות: y=2 שורש x ו-y=36-2 שורש x. מצא את נקודת החיתוך של כל פונקציה עם ציר ה-y.
רמז: נציב x=0 בכל פונקציה ונחשב את הערך של y.
תשובה סופית: (0,0) ו-(0,36)
ל-f(x)=2 שורש x נציב x=0 נקבל y=0. נקודת החיתוך היא (0,0). ל-f(x)=36 - 2 שורש x נציב x=0 נקבל y=36. נקודת החיתוך היא (0,36).
בניית פונקציית שטח טראפז
רמת קושי: בינוני
טראפז מוגדר עם בסיסים באורכים t-k ו-18 ועוד t-k, וגובה השווה ל-2 שורש k. כתוב את פונקציית השטח של הטראפז כפונקציה של t ו-k.
רמז: שטח טראפז = חצי*(סכום הבסיסים)*גובה. הבסיסים הם 18 ו-t-k, הגובה הוא 2 שורש k.
תשובה סופית: f(t,k) = שורש k * (18 + t - k)
שטח = 1/2 * (18 + (t-k)) * (2 שורש k) = שורש k * (18 + t - k)
פישוט פונקציית המטרה והנגזרת למציאת קיצון
רמת קושי: מאתגר
נתונה פונקציית המטרה f(k) = (36 - 3k) שורש k. גזור את הפונקציה ומצא את ערכי k שעבורם הנגזרת שווה לאפס.
רמז: השתמש בכלל נגזרת המכפלה וחשב נגזרת של שורש k. הפוך את המשוואה ואפס.
תשובה סופית: k=4
f'(k) = נגזרת (36 - 3k) כפל שורש k + (36 - 3k) כפל נגזרת שורש k = (-3) שורש k + (36 - 3k) * 1/(2 שורש k) השווה לאפס ופתור: 9k = 36 -> k=4
חישוב שטח הטראפז המקסימלי
רמת קושי: בגרות
נתונות הפונקציות y=2 שורש x ו y=36 - 2 שורש x שמגדירות טראפז. חשב את ערך השטח המקסימלי של הטראפז.
רמז: מצא את ה-k שממקסם את פונקציית השטח, הצב בנוסחה וחשב את השטח.
תשובה סופית: שטח מקסימלי = 48
מצאנו ש-k=4 גורם לנגזרת ל-0 ומקסימום בשטח. שטח מקסימלי הוא f(4) = (36 - 12) * שורש 4 = 24 * 2 = 48
בעיות קיצון בגרפים עם פונקציות שורש
y=2 שורש xy=36 - 2 שורש xכתיבת פונקציית מטרה לשטח הטראפז לפי שני המשתנים, בידוד משתנה, נגזרת ופתרון משוואת קיצון.
שטח = שורש k * (18 + t - k)בודדים את t מהקשר בין הפונקציות.
t = 18 - 2kהחלף את t בפונקציית השטח לקבלת פונקציה של k בלבד.
f(k) = שורש k * (36 - 3k)גזור את הפונקציה f(k) ופתור f'(k)=0.
f'(k) = -3 sqrt(k) + (36 - 3k) / (2 sqrt(k))השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
חשב נקודות חיתוך עם ציר y והבן מי מייצג כל פונקציה.
למה
על מנת לתאר את הטראפז נזדקק לנתוני בסיסים וגבהים מדויקים.
מציאת נקודות (0,0) ו-(0,36) משייכת פונקציות לצבעים ולתפקידים בטראפז.
בחירת שיטה
מה עושים
מגדירים נקודות k ו-t שמייצגות ערכי x בטראפז.
למה
כדי להתייחס למשתנים בבניית פונקציית המטרה.
k ו-t מיוצגים על הפונקציות, משמשים לחידוד המשוואות והחישובים משטח הטראפז.
בניית משוואה
מה עושים
חשב שטח הטראפז כפונקציה של t ו-k.
למה
שטח = חצי*(סכום הבסיסים)*גובה, לביטוי מדויק.
שטח = שורש k כפול (18 + t - k)
נוסחה / הצבה
שטח = שורש k * (18 + t - k)אל תמהרו לבודד את שני המשתנים יחד.
בניית משוואה
מה עושים
בודדים את t מהקשר בין הפונקציות.
למה
כדי לצמצם את פונקציית המטרה למשתנה יחיד.
2t = 36 - 4k → t = 18 - 2k
נוסחה / הצבה
t = 18 - 2kעדיף לבודד את t מאשר את k.
פתרון
מה עושים
החלף את t בפונקציית השטח לקבלת פונקציה של k בלבד.
למה
כדי לאפשר גזירה ופתרון פשוטים יותר.
f(k)= שורש k * (36 - 3k)
נוסחה / הצבה
f(k) = שורש k * (36 - 3k)פתרון
מה עושים
גזור את הפונקציה f(k) ופתור f'(k)=0.
למה
נקודת המינימום או המקסימום נמצאת בנקודות בהן הנגזרת שווה לאפס.
נגזרת: f'(k) = -3 שורש k + (36 - 3k) / (2 שורש k) פתרון: k=4
נוסחה / הצבה
f'(k) = -3 sqrt(k) + (36 - 3k) / (2 sqrt(k))השתמש בכלל נגזרת המכפלה ונגזרת שורש k.