MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · בעיות ערך קיצון

א.15 בעיות קיצון גרפים

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%

סיכום שיעור

  • שיעור זה עוסק בבעיות ערך קיצון עבור שטח מלבן מוגבל בין שני גרפים: פרבולה וקו ישר. נלמד כיצד להגדיר משתנה, לבטא את שטח המלבן כפונקציה של משתנה זה, ולמצוא את ערך המקסימום של שטח זה באמצעות נגזרת.
  • להבין כיצד למקם מלבן בין שני גרפים ולהגדיר משתנה מתאים.
  • לנסח את שטח המלבן כפונקציה של המשתנה.
  • לחשב נגזרת של הפונקציה ולמצוא נקודות קיצון.
  • לקבוע מהו השטח המקסימלי של המלבן בהתאם.
  • להבין משמעות ערך קיצון בבעיה גאומטרית עם גרפים.
  • הצגת הבעיה: הגרף כולל שני גרפים: פרבולה y = x² וקו ישר y = -3x + 9. עלינו למקם מלבן במישור כך שהצלעות שלו על הצירים וגבולותיו בין שני הגרפים, ולמצוא את מקסימום השטח של המלבן.
  • הגדרת המשתנה ובניית השטח: משתנה T מייצג את נקודת הקצה הימני של המלבן על ציר x. הגובה נקבע כהפרש בין ערכי הגרפים בשתי הפונקציות בנקודה T. שטח המלבן כתוצאה מכך הוא פונקציה של T.
  • חישוב נקודות קיצון: נגזור את פונקציית השטח ביחס ל-T, נמצא את נקודות הקיצון ונבדוק מהן הערכים המקסימליים של השטח בתחום הנתון.

תרגול קצר

מקסימום שטח מלבן בין פרבולה לקו ישר

רמת קושי: קל

ממתין

נתון גרף של הפרבולה y = x² וגרף של הקו הישר y = -3x + 9. יש למקם מלבן כך שצלעותיו על הצירים וגבולותיו בין שני הגרפים. מצא את ערך ה-x שבו שטח המלבן מקסימלי ואת שטח זה.

ערך קיצוןגרפיםבעיות מקסימום

רמז: הגדר את נקודת הקצה של המלבן על ציר ה-x בתור T. חשב את השטח כפונקציה של T, נגזר את השטח והציב שווה לאפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: T=1, השטח המקסימלי=5

1. נגדיר T כנקודת הקצה הימני של המלבן על ציר x. 2. הגובה של המלבן הוא y של הקו הישר בנקודה T פחות y של הפרבולה בנקודה T: (-3T + 9) - T². 3. שטח המלבן S(T) = T * [(-3T + 9) - T²] = -T³ - 3T² + 9T. 4. נגזור את S(T): S'(T) = -3T² - 6T + 9. 5. נמצא את נקודות הקיצון על ידי פתרון S'(T) = 0: -3T² - 6T + 9 = 0 → 3T² + 6T - 9 = 0 → T² + 2T -3=0 6. פתרון המשוואה: T = [-2 ± √(4 +12)]/2 = [-2 ±4]/2 → T=1 או T=-3 (מתעלמים) 7. T=1 מתאים. נחשב השטח: S(1) = 1 * [(-3*1 +9) - 1²] = 1 * (6 -1) = 5. שטח המלבן המקסימלי הוא 5 כאשר T=1.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חיפוש השטח המקסימלי למלבן בין גרפים

על ידי שימוש בערך קיצון, נקבע את השטח הגדול ביותר

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא נקודת ה-x בה השטח מקסימלי / השטח המקסימלי של המלבן

  2. נתון 1

    נתון 1

    y = x² הפרבולה
  3. נתון 2

    נתון 2

    y = -3x + 9 הקו הישר
  4. נתון 3

    המלבן מוגבל לצירי x ו-y בין שני הגרפים

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להגדיר T כנקודת הקצה הימני של המלבן ולבטא את השטח כפונקציה של T, לאחר מכן לגזור ולמצוא נקודות

  6. נוסחה

    חשב את הנגזרת S'(T) והציב שווה לאפס כדי למצוא נקודות קיצון

    S'(T) = 9 - 6T - 3T^2
  7. משוואה

    בנה את פונקציית השטח S(T) = בסיס * גובה = T * [(-3T + 9) - T²]

    בנה את פונקציית השטח S(T) = בסיס * גובה = T * [(-3T + 9) - T²]

    S(T) = Tx (-3T + 9 - T^2)S(T) = T * (-3T + 9 - T^2)
  8. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת הנקודה T

מה עושים

הגדר את נקודת הקצה הימני של המלבן על ציר x בתור T

למה

משתנה זה מאפשר לתאר את מיקום המלבן באמצעות פרמטר יחיד

נקודת T מייצגת את ציר האופקי עד גבול המלבן

2

בחירת שיטה

חשוב על גובה המלבן

מה עושים

הגובה הוא הפרש בין y של הקו הישר y=-3T+9 ל-y של הפרבולה y=T²

למה

הבדל זה מייצג את מרחק אנכי בין שני הגרפים בנקודה T

הגובה שווה ל (-3T + 9) - T²

3

בניית משוואה

כתיבת פונקציית השטח

מה עושים

בנה את פונקציית השטח S(T) = בסיס * גובה = T * [(-3T + 9) - T²]

למה

כדי לנתח את השטח כפונקציה של T ולמצוא את הערך המקסימלי

S(T) = T * (-3T + 9 - T²)

נוסחה / הצבה

S(T) = Tx (-3T + 9 - T^2)S(T) = T * (-3T + 9 - T^2)

השתמש בחוק הפילוג לחישוב הביטוי.

4

פתרון

גזור ואפס את הנגזרת

מה עושים

חשב את הנגזרת S'(T) והציב שווה לאפס כדי למצוא נקודות קיצון

למה

נקודות בהן הנגזרת שווה לאפס הן מועמדות לערכים מקסימליים או מינימליים

S'(T) = נוסחה שלאחר חישוב ואיזון

נוסחה / הצבה

S'(T) = 9 - 6T - 3T^2

פתור את המשוואה לקבלת ערכי T אפשריים.

5

בדיקה

בחר את הפתרון המתאים

מה עושים

מתוך הפתרונות הגדולים או שווים לאפס, בחר את זה שמתאים לתחום הרביע הראשון

למה

T שלילי לא מייצג נקודה במישור בו נמצא המלבן

פתרון אחד הוא T=1 (תקין) והשני T=-3 (לא תקין)

6

תשובה

חשב את השטח המקסימלי

מה עושים

הציב את T=1 בפונקציית השטח וחישב את התוצאה

למה

כדי לדעת מהו השטח המקסימלי שהמלבן יכול להגיע אליו

S(1) = 1 * (6 -1) = 5

פתרונות כלליים

  • מקסימום שטח מלבן בין פרבולה לקו ישר: 1. נגדיר T כנקודת הקצה הימני של המלבן על ציר x. 2. הגובה של המלבן הוא y של הקו הישר בנקודה T פחות y של הפרבולה בנקודה T: (-3T + 9) - T². 3. שטח המלבן S(T) = T * [(-3T + 9) - T²] = -T³ - 3T² + 9T. 4. נגזור את S(T): S'(T) = -3T² - 6T + 9. 5. נמצא את נקודות הקיצון על ידי פתרון S'(T) = 0: -3T² - 6T + 9 = 0 → 3T² + 6T - 9 = 0 → T² + 2T -3=0 6. פתרון המשוואה: T = [-2 ± √(4 +12)]/2 = [-2 ±4]/2 → T=1 או T=-3 (מתעלמים) 7. T=1 מתאים. נחשב השטח: S(1) = 1 * [(-3*1 +9) - 1²] = 1 * (6 -1) = 5. שטח המלבן המקסימלי הוא 5 כאשר T=1.
הפריט הקודםהפריט הבא