וידאו · בעיות ערך קיצון
א.14 בעיות קיצון עם פרמטר
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בבעיות ערך קיצון במשולש שווה צלעות עם פרמטר, ומדגים כיצד למקסם שטח משולש נוצר על ידי נקודה נעה על צלע.
- להבין מודל בעיית קיצון במשולש שווה צלעות עם נקודה נעה
- לנסח ולהגדיר משתנה פרמטרי כמשתנה לפונקציית השטח
- לגזור פונקציית שטח ולמצוא נקודת קיצון
- להוכיח שהנקודה היא מקסימום בעזרת הצבות פרמטריות
- הגדרת הבעיה: משולש שווה צלעות, אורך צלע=a, זוויות 60 מעלות, נקודה P נעה בצלע, מחפשים את מיקום P ליצירת שטח מקסימלי למשולש BPQ.
- גזירת פונקציית השטח: הגדרת X= CQ, חישוב גובה על פי פיתגורס, ביטוי פונקציית השטח כפונקציה של X, נגזרות למציאת נקודת קיצון ופתרון לנעלם X.
- בדיקת הקיצון: בדיקה ש-X שווה לחצי A נותן מקסימום בעזרת הצבות פרמטריות קטנות וגדולות מסביב לערך זה, כדי להראות ששטח המשולש הוא מקסימלי בנקודה זו.
תרגול קצר
מקסום שטח משולש BPQ במשולש שווה צלעות
רמת קושי: קל
נתון משולש שווה צלעות עם אורך צלע a. הנקודה P נעה על צלע המשולש, והמשולש BPQ נוצר כאשר PQ מקביל לבסיס. מצא את אורך החתך CQ המתאים לקבלת שטח מקסימלי של המשולש BPQ.
רמז: הגדר X = CQ, חשב את גובה המשולש כתלות ב-X, כתוב את פונקציית השטח, גבול את התחום, גזור ומצא נקודת קיצון.
פתרון מלא
תשובה סופית: CQ = A/2
הגדר X= CQ, הגובה = שורש 3 * X חלקי 2. שטח המשולש: S = חצי בסיס כפול גובה = (1/2)*(A - X)*(שורש 3 * X / 2) = (שורש 3 / 4)*(A*X - X^2). נגזור S לפי X: S' = (שורש 3 / 4)(A - 2X). נאפס ונקבל X = A/2. יש לבדוק כי זה נקודת מקסימום על ידי הצבות פרמטריות קרובות לערך זה.
דרך הפתרון
פתרון בעיית מקסום שטח המשולש BPQ
מקסום שטח משולש בתוך משולש שווה צלעות עם פרמטר CQ
מפת פתרון
- מטרה
למצוא אורך CQ שיגדל את שטח המשולש BPQ למקסימום
- נתון 1
משולש שווה צלעות, אורך צלע a
- נתון 2
נקודה P נעה על צלע
- נתון 3
PQ מקביל לבסיס
- רעיון
הרעיון המרכזי
להגדיר משתנה X = CQ, ולבטא את פונקציית השטח כפונקציה של X, לגזור ולמצוא את X המקסימלי.
- נוסחה
בטא את שטח המשולש כפונקציה של X.
S = (שורש 3 / 4) * (A * X - X^2)S = (שורש 3 / 4) * (A*X - X^2)S = (3)/(4) (A X - X^(2)) - משוואה
פתור את המשוואה כדי לקבל את X.
פתור את המשוואה כדי לקבל את X.
X = A / 2 - פישוט
חשב את הנגזרת של S לפי X ואפס אותה למציאת נקודת קיצון.
חשב את הנגזרת של S לפי X ואפס אותה למציאת נקודת קיצון.
S' = (שורש 3 / 4) * (A - 2X)אפס: A - 2X = 0
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת המשתנה X
זיהוי נתונים
הגדרת המשתנה X
מה עושים
הגדר X כאורך הקטע CQ במשולש.
למה
זהו המשתנה עליו נתמקד ביצירת פונקציית השטח.
2בחירת שיטה
חישוב גובה המשולש
בחירת שיטה
חישוב גובה המשולש
מה עושים
חשב את גובה המשולש BPQ כתלות ב-X באמצעות משפט פיתגורס.
למה
הגובה נדרש כדי לחשב את שטח המשולש.
הגובה שווה לשורש שלושת הריבועים של X פחות רבע X בריבוע.
נוסחה / הצבה
גובה = (שורש 3 * X) / 23בניית משוואה
כתיבת פונקציית השטח
בניית משוואה
כתיבת פונקציית השטח
מה עושים
בטא את שטח המשולש כפונקציה של X.
למה
נוכל למצוא את הקיצון על ידי גזירת פונקציה זו.
שטח S = חצי בסיס (A - X) כפול גובה.
נוסחה / הצבה
S = (שורש 3 / 4) * (A * X - X^2)S = (שורש 3 / 4) * (A*X - X^2)S = (3)/(4) (A X - X^(2))4פתרון
גזירת פונקציית השטח
פתרון
גזירת פונקציית השטח
מה עושים
חשב את הנגזרת של S לפי X ואפס אותה למציאת נקודת קיצון.
למה
נמצא את הערך של X שעבורו השטח מקסימלי.
נוסחה / הצבה
S' = (שורש 3 / 4) * (A - 2X)אפס: A - 2X = 05פתרון
פתרון משוואת הנגזרת
פתרון
פתרון משוואת הנגזרת
מה עושים
פתור את המשוואה כדי לקבל את X.
למה
ערך זה ייתן את אורך CQ המקסימלי לשטח.
נוסחה / הצבה
X = A / 26בדיקה
בדיקת מקסימום
בדיקה
בדיקת מקסימום
מה עושים
בצע הצבות פרמטריות במספרים סביב X = A/2 כדי לוודא שזו נקודת מקסימום.
למה
חשוב לוודא שמדובר בערך שגורם להגברת השטח ולא להקטנתו.
הצבת ערכים קטנים וגדולים מ-A/2 ונבחן את שינוי השטח.
פתרונות כלליים
- מקסום שטח משולש BPQ במשולש שווה צלעות: הגדר X= CQ, הגובה = שורש 3 * X חלקי 2. שטח המשולש: S = חצי בסיס כפול גובה = (1/2)*(A - X)*(שורש 3 * X / 2) = (שורש 3 / 4)*(A*X - X^2). נגזור S לפי X: S' = (שורש 3 / 4)(A - 2X). נאפס ונקבל X = A/2. יש לבדוק כי זה נקודת מקסימום על ידי הצבות פרמטריות קרובות לערך זה.