MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · בעיות ערך קיצון

א.5 בעיות קיצון עם תאלס

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
וידאו

א.1 בעיות קיצון עם מספרים

וידאו

א.2 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

וידאו

א.3 בעיות קיצון עם מרחב

וידאו

א.4 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.5 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.6 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.7 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.7 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.8 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.9 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.10 בעיות קיצון עם מספרים

וידאו

א.11 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

וידאו

א.12 בעיות קיצון עם מרחב

וידאו

א.13 בעיות קיצון עם תאלס

סיכום שיעור

  • שיעור המלמד כיצד לפתור בעיות ערך קיצון במשולש ישר זווית עם שימוש במשפט תאלס, למציאת מידות המלבן המקסימלי בתוך המשולש.
  • לזהות פונקציית מטרה ולנסח אותה
  • להביע תלות בין נעלמים באמצעות משפט תאלס
  • להפחית משוואה עם שני נעלמים למשוואה עם נעלם בודד
  • לתפעל נגזרת ולמצוא נקודת קיצון
  • להבין משמעות גיאומטרית של הערך המקסימלי במצבים אלה
  • הגדרת הבעיה: נתון משולש ישר זווית עם צלעות 6, 8, ו-10, ומלבן מקביל לצלעות שבתוכו. המטרה היא למקסם את שטח המלבן.
  • יצירת פונקציית מטרה: שטח המלבן מוגדר כמכפלת הרוחב והגובה (X ו-Y). יש צורך לייצג X ו-Y ביחס אחד לשני.
  • קישור הנעלמים בעזרת משפט תאלס: באמצעות משפט תאלס מוצאים כי היחס בין X ל-8 שווה ליחס בין 6 פחות Y ל-6, ומבודדים את X.
  • מציאת נקודת הקיצון: מציבים את הביטוי של X בפונקציית שטח ובודקים את הנגזרת כדי למצוא ערך מקסימלי של Y, ולאחר מכן את X.

תרגול קצר

מציאת מידות המלבן בפרק המשולש

רמת קושי: קל

ממתין

נתון משולש ישר זווית עם צלעות 6 ו-8, בתוכו מלבן שצלעותיו מקבילות למשולש. מצא את מידות המלבן כך שהשטח שלו יהיה מקסימלי.

בעיות קיצוןתאלסשטחמשולשרוחב וגובה

רמז: השתמש במשפט תאלס לקשר בין אורך המלבן לגובהו, אחר כך כתוב את פונקציית השטח בפונקציית משתנה אחד בלבד.

פתרון מלא

תשובה סופית: רוחב המלבן: 4 ס"מ, גובה המלבן: 3 ס"מ, שטח מקסימלי: 12 ס"מ רבוע.

1. סמן רוחב המלבן X וגובה המלבן Y. 2. משוואת תאלס: X/8 = (6 - Y)/6 3. הפוך ל-X = 8*(6 - Y)/6 4. פונקציית שטח: S = X * Y = (8*(6 - Y)/6) * Y 5. פשט: S = 8*(6Y - Y^2)/6 = (8/6)(6Y - Y^2) 6. חשב נגזרת של S לפי Y וקבע שווה 0. 7. פתר: Y = 3 8. חשב X = 8*(6 - 3)/6 = 4 9. מידות המלבן הן 4 על 3.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון בעיית ערך קיצון – מלבן במשולש

מציאת מידות המלבן המקסימלי בתוך משולש ישר זווית

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא מקסימום שטח המלבן / המידות X ו-Y של המלבן המקסימלי

  2. נתון 1

    משולש ישר זווית עם צלעות 6, 8, ו-10

  3. נתון 2

    מלבן הצמוד למשולש, עם רוחב X וגובה Y

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נבטא את רוחב המלבן X כמשתנה תלוי בגובה Y באמצעות משפט תאלס, נציב בפונקציית השטח, ונמצא את נקודת

  5. נוסחה

    נכתוב את פונקציית השטח כפונקציה של Y בלבד.

    S = (8 * (6 - Y) / 6) * YS = X * Y = (8 * (6 - Y)/6) * YS = X x Y = (8 x (6 - Y)/(6)) x Y
  6. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  7. פישוט

    מחושבת נגזרת השטח לפי Y ומוצאים נקודה עם נגזרת 0.

    מחושבת נגזרת השטח לפי Y ומוצאים נקודה עם נגזרת 0.

    dS/dY = 0 then Y = 3dS/dY = 0 => Y = 3
  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    מחושבים X ושטח S עם Y = 3.

    X = 4S = 12

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

המשולש והמלבן

מה עושים

המשולש ישר זווית בגבהים 6 ו-8, המלבן עם רוחב X וגובה Y שבפנים.

למה

מגדירים משתנים רלוונטיים לבעיה.

2

בחירת שיטה

קשר בין X ל-Y במשפט תאלס

מה עושים

נשתמש במשפט תאלס לקביעת יחס בין X ל-Y.

למה

קישור הנעלמים מאפשר להוריד משתנה מהמטרה.

X חלקי 8 = (6 פחות Y) חלקי 6.

נוסחה / הצבה

X / 8 = (6 - Y) / 6(X)/(8) = (6 - Y)/(6)

רק קשר ישר, שמור לב לסוגריים.

3

בניית משוואה

פונקציית שטח המלבן

מה עושים

נכתוב את פונקציית השטח כפונקציה של Y בלבד.

למה

לפתור בעזרת משתנה יחיד.

שטח S = X * Y X מולבש מהשלב הקודם.

נוסחה / הצבה

S = (8 * (6 - Y) / 6) * YS = X * Y = (8 * (6 - Y)/6) * YS = X x Y = (8 x (6 - Y)/(6)) x Y
4

פתרון

מציאת נקודת הקיצון

מה עושים

מחושבת נגזרת השטח לפי Y ומוצאים נקודה עם נגזרת 0.

למה

מציאת ערך Y שמקסם את השטח.

נגזרת שווה 0 ב- Y = 3.

נוסחה / הצבה

dS/dY = 0 then Y = 3dS/dY = 0 => Y = 3(dS)/(dY) = 0 => Y = 3
5

תשובה

אורך המלבן ומקסימום שטח

מה עושים

מחושבים X ושטח S עם Y = 3.

למה

נקבל את המידות הסופיות והתוצאה המבוקשת.

X = 8 * (6 - 3) / 6 = 4 שטח מקסימלי = 4 * 3 = 12

נוסחה / הצבה

X = 4S = 12X=4S=12

פתרונות כלליים

  • מציאת מידות המלבן בפרק המשולש: 1. סמן רוחב המלבן X וגובה המלבן Y. 2. משוואת תאלס: X/8 = (6 - Y)/6 3. הפוך ל-X = 8*(6 - Y)/6 4. פונקציית שטח: S = X * Y = (8*(6 - Y)/6) * Y 5. פשט: S = 8*(6Y - Y^2)/6 = (8/6)(6Y - Y^2) 6. חשב נגזרת של S לפי Y וקבע שווה 0. 7. פתר: Y = 3 8. חשב X = 8*(6 - 3)/6 = 4 9. מידות המלבן הן 4 על 3.
הפריט הקודםהפריט הבא