MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · בעיות ערך קיצון

א.2 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
וידאו

א.1 בעיות קיצון עם מספרים

וידאו

א.2 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

וידאו

א.3 בעיות קיצון עם מרחב

וידאו

א.4 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.5 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.6 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.7 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.7 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.8 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.9 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.10 בעיות קיצון עם מספרים

וידאו

א.11 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

וידאו

א.12 בעיות קיצון עם מרחב

וידאו

א.13 בעיות קיצון עם תאלס

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בבעיה קיצונית מערכות ריצוף עם מחיר שונה לשטח, שבה יש למצוא את מידת הריבוע X שתמזער את עלויות הריצוף תחת מגבלות גאומטריות ומחירי דקורציה שונים.
  • להבין כיצד להגדיר פונקציית מטרה מבעיה גיאומטרית
  • לנסח משוואות המייצגות שטחים שונים בפרויקט
  • לחשב פונקציית עלות כוללת על בסיס שטחים ומחירים שונים
  • למצוא את נקודת האיזון המינימלית ע"פ נגזרת של פונקציית עלות
  • לנתח תוצאות ולוודא שהפתרון הגיוני בתחום ההגבלות הנתונות
  • הצגת הבעיה: בפרויקט הריצוף יש שטח כולל של 18 על 10 מטרים, המחולק לאזור ריצוף יקר ועורף זול. נדרש למצוא את גודל הריבוע X המפריד בין האזורים כך שהעלות הכוללת תהיה מינימלית.
  • חישוב פונקציית המטרה: נוסחה המתארת את סך עלות הריצוף, המורכבת מסכום המחיר של השטח היקר והזול לפי החלוקה בגודל X.
  • פישוט המשוואה: פתיחת סוגריים והרכבת הפונקציה כמטריצה פולינומית ומשוואה 2 מעלות עם מקדמים מספריים.
  • מציאת נקודת הקיצון: חישוב נגזרת פונקציית העלות, חישוב השורשים וחיפוש הפתרון בתחום ההגיוני (0<X<10) והערכת מחיר מינימלי.

תרגול קצר

חישוב פונקציית עלות ראשונית

רמת קושי: קל

ממתין

בהינתן שטח של 18 על 10 מטר, חשב את פונקציית העלות הכוללת של הריצוף עבור משתנה x, לפי תיאור המחיר 200 ש"ח למ"ר בריצוף היקר ו-100 ש"ח למ"ר בריצוף הזול.

שטחיםפונקציית עלותריצוף

רמז: חשב את שטח האזורים לפי x ואז כפל בכל שטח במחיר המתאים.

פתרון מלא

תשובה סופית: פונקציית עלות = 200*(x^2 + (18-x)*(10-x)) + 100*(x*(10-x) + x*(18-x))

שטח היקר הוא x בריבוע ועוד (18 - x)(10 - x), שטח הזול הוא x(10 - x) ועוד x(18 - x). פונקציית העלות הכוללת היא 200 כפול שטח היקר ועוד 100 כפול שטח הזול.

פישוט פונקציית העלות

רמת קושי: בינוני

ממתין

פשט את פונקציית העלות 200*(x^2+(18-x)(10-x)) + 100*(x*(10-x) + x*(18-x)) לביטוי פולינומי מסדר שני.

פישוטפונקציות ריבועיות

רמז: פתח סוגריים, סכם ורכז איברים דומים.

פתרון מלא

תשובה סופית: פונקציית העלות = 200x^2 - 2000x + 36000

פישוט הפונקציה מוביל ל־200x^2 - 2000x + 36000.

מציאת X הממזער את העלות

רמת קושי: מאתגר

ממתין

מצא את הערך של x בין 0 ל-10 שממזער את פונקציית העלות ופשטה, וחשב את העלות המינימלית.

קיצוןנגזרותפתרון משוואות

רמז: חשב את נגזרת פונקציית העלות, פתר את המשוואה למספרים בתחום ואמת את התוצאה ע"י הצבה סביבתית.

פתרון מלא

תשובה סופית: x=5, עלות מינימלית=31000

נגזרת פונקציית העלות היא 400x - 2000. שווה ל-0: 400x = 2000 ⇒ x=5. תחום אפשרי 0<x<10, ולכן x=5 מתאים. העלות המינימלית היא 200*5^2 - 2000*5 + 36000 = 200*25 - 10000 + 36000 = 5000 - 10000 + 36000 = 31000.

פתרון בעיה חוץ קורסית על ריצוף

רמת קושי: בגרות

ממתין

בהינתן שטח ריצוף 18 על 10, כאשר ריצוף יקר עולה 200 ש"ח למ"ר וזול 100 ש"ח למ"ר, מצא את הגודל של הצד x שממזער את העלות הכוללת. חשב את העלות למינימום.

קיצוןריצוףבעיות מילוליות

רמז: צור משוואה של פונקציית עלות לפי הנתונים, פשט, קבע נגזרת לאפס ופתור.

פתרון מלא

תשובה סופית: x=5, עלות מינימלית=31000

פונקציית העלות: 200(x^2 + (18-x)(10-x)) + 100(x(10-x) + x(18-x))\\ פשטה: 200x^2 - 2000x + 36000\\ נגזרת: 400x - 2000 = 0\\ פתרון: x=5\\ העלות: 200*25 - 2000*5 + 36000=31000

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מזעור עלות ריצוף לפי גודל ריבוע X

כיצד לחשב את גודל הריבוע X הממזער עלות ריצוף בפרויקט

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא הערך של X שימזער את עלות הריצוף / עלות ריצוף מינימלית תואמת ל-X זה

  2. נתון 1

    שטח כולל של 18 מטר על 10 מטר

  3. נתון 2

    ריבוע בצבע שונה בממד x

  4. נתון 3

    מחיר ריצוף יקר: 200 ש"ח למ"ר

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    הגדר פונקציית עלות הכוללת כפונקציה של x, פשט, גזור ואפס את הנגזרת כדי למצוא את x הממזער.

  6. נוסחה

    הצבת ביטויים מפורשים לשטחי הריצוף היקר והזול בפונקציית העלות

    פונקציית עלות= 200 * [x^2+ (18- x)(10- x)]
  7. משוואה

    פתח סוגריים, סדר את הפונקציה למונחים פשוטים, גזור, ופתור את המשוואה

    פתח סוגריים, סדר את הפונקציה למונחים פשוטים, גזור, ופתור את המשוואה

    פונקציית עלות = 200x^2 - 2000x + 36000נגזרת = 400x - 2000
  8. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת שטחים ומחירים

מה עושים

מתחילים מהשטח הכולל, מחלקים לשני מקטעים שונים עם עלויות שונות

למה

כדי לבנות פונקציית עלות מבוססת משתנה x שיאפשר מינימיזציה

השטח הכולל 18 על 10 מחולק לשני אזורים - ריצוף יקר וצבעוני וריצוף זול

2

בחירת שיטה

בניית פונקציית עלות

מה עושים

הגדרת פונקציה הכוללת תוצר מחירי המ"ר בשטח הנכון עבור כל סוג ריצוף

למה

על מנת לאמוד את העלות הכוללת שמשתנה לפי הערך x

פונקציית עלות הכוללת היא סכום מחירי הריצוף כפול השטח בכל אזור

3

בניית משוואה

כתיבת פונקציית עלות מפורטת

מה עושים

הצבת ביטויים מפורשים לשטחי הריצוף היקר והזול בפונקציית העלות

למה

כדי לקבל ביטוי מתמטי מדויק לפונקציית העלות עם x בלבד

שטח יקר: x^2 + (18 - x)(10 - x)\nשטח זול: x(10 - x) + x(18 - x)\nפונקציית העלות הכוללת: 200 * שטח יקר + 100 * שטח זול

נוסחה / הצבה

פונקציית עלות= 200 * [x^2+ (18- x)(10- x)]
4

פתרון

פישוט וקביעת מינימום

מה עושים

פתח סוגריים, סדר את הפונקציה למונחים פשוטים, גזור, ופתור את המשוואה

למה

כדי לקבל את הנגזרת ולקבוע את הנקודה בה פונקציית העלות מינימלית

פונקציית העלות מפושטת ל-200x^2 - 2000x + 36000, נגזרתה 400x - 2000 = 0. הפתרון x=5

נוסחה / הצבה

פונקציית עלות = 200x^2 - 2000x + 36000נגזרת = 400x - 2000

יש לבדוק שהערך x נמצא בטווח ההגיוני

5

תשובה

חשב עלות מינימלית

מה עושים

נציב את x=5 בפונקציית העלות למיצוא העלות המינימלית

למה

כדי לקבוע את העלות האופטימלית של הריצוף בהתאם לערך x שמצאנו

העלות: 200*(5)^2 - 2000*(5) + 36000 = 31000 ש"ח

נוסחה / הצבה

עלות מינימלית = 200*25 - 2000*5 + 36000 = 31000

פתרונות כלליים

  • חישוב פונקציית עלות ראשונית: שטח היקר הוא x בריבוע ועוד (18 - x)(10 - x), שטח הזול הוא x(10 - x) ועוד x(18 - x). פונקציית העלות הכוללת היא 200 כפול שטח היקר ועוד 100 כפול שטח הזול.
  • פישוט פונקציית העלות: פישוט הפונקציה מוביל ל־200x^2 - 2000x + 36000.
  • מציאת X הממזער את העלות: נגזרת פונקציית העלות היא 400x - 2000. שווה ל-0: 400x = 2000 ⇒ x=5. תחום אפשרי 0<x<10, ולכן x=5 מתאים. העלות המינימלית היא 200*5^2 - 2000*5 + 36000 = 200*25 - 10000 + 36000 = 5000 - 10000 + 36000 = 31000.
  • פתרון בעיה חוץ קורסית על ריצוף: פונקציית העלות: 200(x^2 + (18-x)(10-x)) + 100(x(10-x) + x(18-x))\\ פשטה: 200x^2 - 2000x + 36000\\ נגזרת: 400x - 2000 = 0\\ פתרון: x=5\\ העלות: 200*25 - 2000*5 + 36000=31000
הפריט הקודםהפריט הבא