MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · בעיות ערך קיצון

א.3 בעיות קיצון עם מרחב

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
וידאו

א.1 בעיות קיצון עם מספרים

וידאו

א.2 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

וידאו

א.3 בעיות קיצון עם מרחב

וידאו

א.4 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.5 בעיות קיצון עם תאלס

וידאו

א.6 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.7 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.7 בעיות קיצון עם פרמטר

וידאו

א.8 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.9 בעיות קיצון גרפים

וידאו

א.10 בעיות קיצון עם מספרים

וידאו

א.11 בעיות קיצון עם צורה גיאומטרית ושטח

וידאו

א.12 בעיות קיצון עם מרחב

וידאו

א.13 בעיות קיצון עם תאלס

סיכום שיעור

  • השיעור מתמקד בפתרון בעיות ערך קיצון המערבות מרחב, בדגש על בעיה של מציאת המקסימום בנפח מעמד המורכב מקיפול חלקים מפלאח עם חיתוך ריבועים.
  • להבין כיצד לממש מודל מתמטי מבעיה מציאותית עם חיתוך וקיפול
  • לנסח פונקציית מטרה לנפח בעזרת משתנה מידע יחיד
  • למצוא את הנקודה המקסימלית של פונקציית הנפח בעזרת גזירה
  • להבין את תחום ההגדרה והפרשנות של התוצאות במרחב
  • הגדרת הבעיה: ניתוח המצב ההתחלתי של פלאח בגודל 50 על 80 סנטימטרים, וחיתוך ריבועים זעירים מארבעת הפינות.
  • מודל מתמטי וייצוג פונקציית המטרה: בניית פונקציית הנפח כפונקציה של x - גודל ריבוע החיתוך והקיפול בעקבותיו.
  • פתרון הבעיה וגזירה: הרחבת הפונקציה, גזירתה ושימוש בשיקולי תחום מחייה לצורך מציאת הפתרון המקסימלי.

תרגול קצר

מציאת פונקציית הנפח של המעמד

רמת קושי: קל

ממתין

נתון פלאח בגודל 50 על 80 סנטימטרים.חותכים ריבוע בגודל x מכל פינה ומקפלים את הצלעות. כתבו ביטוי מתמטי לנפח המעמד כפונקציה של x.

נפחפונקציית מטרהערך קיצון

רמז: הנפח הוא אורך כפול רוחב כפול גובה, כאשר האורך והרוחב מתקצרים ב-2x כל אחד והגובה הוא x.

פתרון מלא

תשובה סופית: V(x) = x (80 - 2x) (50 - 2x)

גובה המעמד הוא x, האורך אחרי החיתוך הוא 80 - 2x, והרוחב הוא 50 - 2x. לכן פונקציית הנפח: V(x) = x * (80 - 2x) * (50 - 2x).

חישוב נקודות קיצון של פונקציית הנפח

רמת קושי: בינוני

ממתין

פתחו את פונקציית הנפח V(x) = x (80 - 2x)(50 - 2x) ופשטו אותה. לאחר מכן חשבו את הנגזרת הראשונה ונמצאו נקודות קיצון על ידי פתרון המשוואה V'(x) = 0.

גזירהנקודת קיצוןערך מקסימלי

רמז: פתחו קודם את כל הביטוי ואז גזרו. הנגזרת תקבע מתי הנפח מקסימלי או מינימלי.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = 10 נותן את נפח המקסימום

פתחו: V(x) = x (4000 - 260x + 4x^2) = 4000x - 260x^2 + 4x^3 נגזרת: V'(x) = 4000 - 520x + 12x^2 פתרו: 12x^2 - 520x + 4000=0. פתרון: x=10 ו-x=33.33 תחום מחייה מגביל ל-x=10 מקסימום חכם.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מקסום נפח המעמד מפלאח

בעיית ערך קיצון עם חיתוך וקיפול

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא חישוב פונקציית נפח המעמד כפונקציה של x / מציאת ערך x שיוצר נפח מקסימלי

  2. נתון 1

    אורך הפלאח: 80 ס''מ

  3. נתון 2

    רוחב הפלאח: 50 ס''מ

  4. נתון 3

    גודל הריבועים שנחתכים מכל צד: x

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נסמן את גובה המעמד כ-x, ונחשב את אורך ורוחב הבסיס לאחר החיתוך, ונבנה פונקציית נפח במטרה למקסם

  6. נוסחה

    נפח הוא אורך כפול רוחב כפול גובה: V = x (80 - 2x)(50 - 2x)

    V(x) = x(80 - 2x)(50 - 2x)V(x) = x (80 - 2x)(50 - 2x)V(x) = x x (80 - 2x) x (50 - 2x)
  7. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  8. פישוט

    פתח את הפונקציה, גזור ופתור את V'(x)=0

    פתח את הפונקציה, גזור ופתור את V'(x)=0

    V'(x) = 12x^2 - 520x + 4000V(x)=4x^3 -260 x^2 + 4000 x

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתונים מהבעיה

מה עושים

קיבלנו אורך 80, רוחב 50 וסימון x לחיתוך

למה

יש לתאר את המצב הפיזי במונחי משתנים מתמטיים

2

בחירת שיטה

הבנת הקיפול

מה עושים

גובה המעמד יהיה x הנחתך ומקפלים את הצדדים

למה

זה מאפשר לבנות את פונקציית הנפח

3

בניית משוואה

כתיבת פונקציית נפח

מה עושים

נפח הוא אורך כפול רוחב כפול גובה: V = x (80 - 2x)(50 - 2x)

למה

זו פונקציית המטרה שמייצגת את הנפח כפונקציה של x

נוסחה / הצבה

V(x) = x(80 - 2x)(50 - 2x)V(x) = x (80 - 2x)(50 - 2x)V(x) = x x (80 - 2x) x (50 - 2x)

לעבוד עם ביטוי מסודר לפתיחת הסוגריים

4

פתרון

פיתוח וגזירת פונקציית הנפח

מה עושים

פתח את הפונקציה, גזור ופתור את V'(x)=0

למה

כדי למצוא את נקודת הקיצון ונפח מקסימלי

נוסחה / הצבה

V'(x) = 12x^2 - 520x + 4000V(x)=4x^3 -260 x^2 + 4000 xV'(x)=12x^2 - 520x + 4000V'(x) = 12x^(2) - 520x + 4000

דגש על תחום המחייה שהיא 0 < x < 25

5

בדיקה

בדיקת תחום המחייה והערך

מה עושים

בחר ערכים בתחום כדי לבחון את סימני הנגזרת

למה

למצוא האם נקודות הקיצון הן מקסימום או מינימום

להיזהר מפתרונות עם x שלילי או מחוץ לתחום

6

תשובה

קביעת x ונפח מקסימלי

מה עושים

x=10 נותן נפח מקסימלי של כ- 18000 סמ"ק

למה

ערך זה עומד בתחום המחייה ומצדיק פתרון מתאים

נוסחה / הצבה

V(10) = 10(80 - 20)(50 - 20)= 18000V(10) = 10 * (80 - 20) * (50 - 20) = 10 * 60 * 30 = 18000

פתרונות כלליים

  • מציאת פונקציית הנפח של המעמד: גובה המעמד הוא x, האורך אחרי החיתוך הוא 80 - 2x, והרוחב הוא 50 - 2x. לכן פונקציית הנפח: V(x) = x * (80 - 2x) * (50 - 2x).
  • חישוב נקודות קיצון של פונקציית הנפח: פתחו: V(x) = x (4000 - 260x + 4x^2) = 4000x - 260x^2 + 4x^3 נגזרת: V'(x) = 4000 - 520x + 12x^2 פתרו: 12x^2 - 520x + 4000=0. פתרון: x=10 ו-x=33.33 תחום מחייה מגביל ל-x=10 מקסימום חכם.
הפריט הקודםהפריט הבא