וידאו · גיאומטריה
ו11. פרופורציה ודמיון
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בשיעור זה נלמד על יחסי פרופורציה בין צלעות משולשים החשופים בדמיון, ונבין כיצד להוכיח דמיון משולשים על ידי פרופורציות, ומשפטי דמיון (צלע-צלע-צלע וזווית-זווית).
- להבין את הגדרת דמיון משולשים
- לזהות פרופורציות בין צלעות במשולשים דומים
- להוכיח דמיון משולשים באמצעות פרופורציות
- לפענח כיצד משתמשים במשפטי דמיון לצורך פתרון בעיות בבעיות גיאומטריה
- הצגת המשולשים והנתונים: נקבל שני משולשים עם צלעות נתונות ונבדוק את היחסים ביניהם.
- בדיקת יחס הפרופורציות בין צלעות: בוחנים את היחס בין הצלעות המתאימות בשני המשולשים ומוודאים אם יחסן זהה.
- הוכחת דמיון משולשים: מסקנה כי המשולשים דומים בהתבסס על פרופורציות הצלעות ושוויון הזוויות המתאים.
- שימוש בדמיון לפיצול צלעות: הגדרת יתרות בצלעות עם משתנים (X) והוכחה באמצעות משוואות מבוססות דמיון ופרופורציות.
- דמיון משולשים בתוך המשולשים הגדולים: זיהוי משולשים קטנים דומים בתוך המשולשים המקוריים ויישום דמיון זווית-זווית לפתרון.
תרגול קצר
בדיקת פרופורציה בין צלעות משולשים
רמת קושי: קל
נתונים משולשים ABC ו-BCD בעלי צלעות AB=4, BC=6, AC=8 ו-BC=6, CD=9, BD=12. האם המשולשים דומים? הוכח/י.
רמז: בדוק אם יחס כל זוג צלעות בהתאמה שווה.
פתרון מלא
תשובה סופית: המשולשים דומים כי כל הצלעות בפרופורציה 2:3.
חשב את היחסים: 4 ל-6 = 2 ל-3, 6 ל-9 = 2 ל-3, 8 ל-12 = 2 ל-3. את שלושת הצלעות נמצא ביחס פרופורציונלי זהה 2:3 ולכן המשולשים דומים לפי משפט סלע (צלע-צלע-צלע).
חישוב אורכי קטעים במשולש דמוי
רמת קושי: בינוני
במשולש BCD המסומן, הוכח כי זווית A שווה לזווית DBC, ולאחר מכן חשב את אורכי הקטעים BE ו-EC כאשר BE = X, EC = 12 - X והמשולשים BEC ו-ABC דומים.
רמז: השתמש במשפטי דמיון בין המשולשים וחפש יחס בין חלקי הצלעות.
פתרון מלא
תשובה סופית: BE=3, EC=4.5.
הוכחנו שזווית A שווה לזווית DBC על ידי דמיון המשולשים ABC ו-BCD. לאחר מכן סימנו BE=X, EC=12-X ויישמנו את יחס הדמיון בין המשולשים: 8/BC = 12/CE וכו'. משוואות אלו מובילות ל: 8*Y=36 ו-8*X=24 ולכן Y=4.5, X=3.
הוכחת דמיון מבוסס זוויות וצלעות וחישוב אורכי קטעים
רמת קושי: מאתגר
הוכח שהמשולשים ABC ו-BCD דומים בהתבסס על פרופורציות צלעות, הצג את הזוויות שמתאימות והשתמש בדמיון כדי למצוא את אורכי הקטעים BE ו-EC.
רמז: הראה שיחס צלעות מתאים 2:3, הצג את הזוויות המתאימות בעזרת סימוני זוויות, ופעל לפי יחס דמיון שני משולשים כדי לפתור עבור BE ו-EC.
פתרון מלא
תשובה סופית: המשולשים דומים, BE=3, EC=4.5.
מצד שני מצאנו כי AB:BC = BC:CD = AC:BD = 2:3 ולפי משפט סלע המשולשים דומים. הזוויות המתאימות סימנו כ-alpha בודקים שהן שוות. לאחר מכן סימנו BE=X ו-EC=12 - X. מיחסים שוויון של יחס הצלעות הדומים בין המשולשים BEC ל-ABC הגענו למשוואות לפתרון X=3 ו-Y=4.5.
הוכחת דמיון חשובה והערכת אורכים
רמת קושי: בגרות
בהינתן משולשים ABC ו-BCD עם צלעות AB=4, BC=6, AC=8 ו-BC=6, CD=9, BD=12, הוכח שהמשולשים דומים, הראה כי זווית A = זווית DBC, ומצא את אורכי BE ו-CE כאשר BE + CE = 12.
רמז: מצא יחס פרופורציונלי בין הצלעות, השתמש בדמיון לזוויות, סמן אורכי קטעים במשתנים, והשתמש במשוואות לפרופורציות.
פתרון מלא
תשובה סופית: המשולשים דומים, זווית A = זווית DBC, BE=3, CE=4.5.
מצאנו שכל זוג צלעות בהתאמה בפרופורציה 2:3 ולכן המשולשים דומים. הזווית A שווה לזווית DBC כי הן מתאימות בדמיון. סימנו BE = X, CE = 12 - X. מהדמיון בין המשולשים BEC ל-ABC הקמנו משוואות ומצאנו X=3 ו-CE=4.5.
דרך הפתרון
פתרון בעיית דמיון משולשים
כיצד להוכיח דמיון ולחשב אורכים חסרים
מפת פתרון
- מטרה
למצוא הוכחת דמיון בין ABC ל-BCD / אימות שוויון זוויות A ו-DBC / חישוב אורכי BE ו-CE
- נתון 1
נתון 1
AB=4 - נתון 2
נתון 2
BC=6 - נתון 3
נתון 3
AC=8 - רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש ביחס פרופורציות בין הצלעות להוכיח דמיון, נגדיר אורכים חסרים במשתנים ונבנה משוואות דמיון
- נוסחה
כתוב את היחסים המתמטיים בין הצלעות: 4 ל-6, 6 ל-9, 8 ל-12.
4 / 6 = 2 / 36 / 9 = 2 / 38 / 12 = 2 / 3 - משוואה
סמן BE=X ולכן CE=12 - X והקם משוואות פרופורציונליות בין המשולשים הקטנים.
סמן BE=X ולכן CE=12 - X והקם משוואות פרופורציונליות בין המשולשים הקטנים.
- פישוט
קבע שהמשולשים דומים על פי פרופורציות וציין אותו על הזוויות המתאימות.
קבע שהמשולשים דומים על פי פרופורציות וציין אותו על הזוויות המתאימות.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתוני המשולשים והצלעות
זיהוי נתונים
נתוני המשולשים והצלעות
מה עושים
רשום את אורכי הצלעות של שני המשולשים.
למה
עלינו לדעת את אורכי הצלעות על מנת לבדוק פרופורציות.
AB=4, BC=6, AC=8 במשולש ABC; BD=12, CD=9, BC=6 במשולש BCD.
2בחירת שיטה
בדיקת פרופורציות בין צלעות
בחירת שיטה
בדיקת פרופורציות בין צלעות
מה עושים
חשב את היחסים בין הצלעות המתאימות: AB ל-BD, BC ל-CD, AC ל-BC.
למה
אם היחסים שווים, נוכל להוכיח דמיון משולשים לפי משפט סלע.
אם AB/BD=BC/CD=AC/BC, אז המשולשים דומים.
שים לב לסדר הצלעות שבהן מושווים.
3בניית משוואה
רשום את יחסי הצלעות
בניית משוואה
רשום את יחסי הצלעות
מה עושים
כתוב את היחסים המתמטיים בין הצלעות: 4 ל-6, 6 ל-9, 8 ל-12.
למה
כדי לוודא פרופורציות זהות בין צלעות המתאימות.
4/6 = 2/3, 6/9 = 2/3, 8/12 = 2/3.
נוסחה / הצבה
4 / 6 = 2 / 36 / 9 = 2 / 38 / 12 = 2 / 3הפשט לשברים פשוטים.
4פתרון
סיכום הדמיון ומשמעותו לזוויות
פתרון
סיכום הדמיון ומשמעותו לזוויות
מה עושים
קבע שהמשולשים דומים על פי פרופורציות וציין אותו על הזוויות המתאימות.
למה
משולשים דומים משמעותם זוויות שוות וצלעות ביחס קבוע.
משולש ABC דומה ל-BCD, הזווית A שווה לזווית DBC.
הדמיון מיוצג גם על ידי סימוני זוויות מפורטים בציור.
5בניית משוואה
הגדרת משתנים וקביעת משוואות
בניית משוואה
הגדרת משתנים וקביעת משוואות
מה עושים
סמן BE=X ולכן CE=12 - X והקם משוואות פרופורציונליות בין המשולשים הקטנים.
למה
כדי לחשב אורכי הקטעים המבוקשים בעזרת דמיון בין משולשים פנימיים.
BE/X, CE/12 - X מתקשרים בצלעות המשולשים הדומים.
השתמש ביחסי דמיון בין משולשים BEC ל-ABC.
6פתרון
פתרון המשוואות לחישוב אורכים
פתרון
פתרון המשוואות לחישוב אורכים
מה עושים
הציב את יחס הצלעות ופתור את המשוואות למציאת X ו-CE.
למה
קבלת ערך מספרי ל-BE ו-CE לפתרון הבעיה הכוללת.
X=3, CE=4.5.
נוסחה / הצבה
8 * CE = 368 * X = 24בדוק את הפתרון באמצעות יחס הצלעות.
פתרונות כלליים
- בדיקת פרופורציה בין צלעות משולשים: חשב את היחסים: 4 ל-6 = 2 ל-3, 6 ל-9 = 2 ל-3, 8 ל-12 = 2 ל-3. את שלושת הצלעות נמצא ביחס פרופורציונלי זהה 2:3 ולכן המשולשים דומים לפי משפט סלע (צלע-צלע-צלע).
- חישוב אורכי קטעים במשולש דמוי: הוכחנו שזווית A שווה לזווית DBC על ידי דמיון המשולשים ABC ו-BCD. לאחר מכן סימנו BE=X, EC=12-X ויישמנו את יחס הדמיון בין המשולשים: 8/BC = 12/CE וכו'. משוואות אלו מובילות ל: 8*Y=36 ו-8*X=24 ולכן Y=4.5, X=3.
- הוכחת דמיון מבוסס זוויות וצלעות וחישוב אורכי קטעים: מצד שני מצאנו כי AB:BC = BC:CD = AC:BD = 2:3 ולפי משפט סלע המשולשים דומים. הזוויות המתאימות סימנו כ-alpha בודקים שהן שוות. לאחר מכן סימנו BE=X ו-EC=12 - X. מיחסים שוויון של יחס הצלעות הדומים בין המשולשים BEC ל-ABC הגענו למשוואות לפתרון X=3 ו-Y=4.5.
- הוכחת דמיון חשובה והערכת אורכים: מצאנו שכל זוג צלעות בהתאמה בפרופורציה 2:3 ולכן המשולשים דומים. הזווית A שווה לזווית DBC כי הן מתאימות בדמיון. סימנו BE = X, CE = 12 - X. מהדמיון בין המשולשים BEC ל-ABC הקמנו משוואות ומצאנו X=3 ו-CE=4.5.