חישוב הסתברות הוצאה מקד א
רמת קושי: קל
אם מתבצעת הוצאה משני כדורים ברצף ללא החזרה מקד א, מה ההסתברות ששני הכדורים יהיו שחורים?
הסתברותללא החזרהכפל
רמז: חשבו לפי חוק הכפל, עדכנו את בסיס המדגם לאחר ההוצאה הראשונה.
פתרון מלא
תשובה סופית: 1/3
קד א מכיל 6 כדורים שחורים מתוך 10. ההסתברות להוציא את הראשון שחור היא 6/10. לאחר ההוצאה הראשונה, נשארו 5 כדורים שחורים מתוך 9 כדורים בסך הכל. ההסתברות להוציא את השני שחור היא 5/9. לכן ההסתברות ששני הכדורים שחורים היא מכפלת שני ההסתברויות: 6/10 * 5/9 = 30/90 = 1/3.
הסיכוי להוציא כדורים שווי צבע לפי דיאגרמת עץ
רמת קושי: בינוני
בהינתן תיאור הבעיה המלא, חשב את ההסתברות להוציא שני כדורים שווי צבע, לפי דיאגרמת העץ.
הסתברותעץ הסתברותללא החזרהחיבור וכפל
רמז: השתמש בחוק הכפל בתוך כל מסלול ועשה סכום בין המסלולים שמייצגים שווי צבע. זכור לעדכן את מספר הכדורים לאחר ההוצאה הראשונה.
פתרון מלא
תשובה סופית: סכום המכפלות של המסלולים לשווי צבע, כפי שמפורט בדיאגרמת העץ (ראה מפה לפירט)
ראשית, נחשב את הסתברות בחירת הקד: P(קד א) = 2/6 = 1/3, P(קד ב) = 4/6 = 2/3, לפי התוצאה של הקובייה (תוצאה >4: 2 צדדים מתוך 6, לא בדיוק חצי). בהמשך כל מסלול מעץ ההסתברויות מחושב לפי החוק: הכפל בין בחירת קד וההוצאות הרצופות ללא החזרה. נקבל סיכומים עבור המסלולים עם שני כדורים שחורים ושני כדורים לבנים. החיבור שלהם יתן את ההסתברות הכוללת לשווי צבע.
ניתוח הסתברות באירועים תלויים עם תנאי קובייה
רמת קושי: מאתגר
נתון ניסוי מורכב שבו הקובייה קובעת את הקד ממנו נבחרים הכדורים, ולאחר מכן מוציאים שני כדורים ללא החזרה. חשב את ההסתברות להוציא שני כדורים שונים בצבעם.
הסתברות מורכבתאירועים תלוייםללא החזרהעץ הסתברויות
רמז: נתח כל אפשרות בהתאם לתוצאות הקובייה, בנה עץ הסתברויות, חשב את ההסתברות עבור כל נתיב שמוביל ליציאה של צבעים שונים וסכום את תוצאותיהם.
פתרון מלא
תשובה סופית: חישוב מפורט הכולל סכום מכפלות במסלולים של הוצאה שני כדורים בצבעים שונים
ראשית יש לחשב את ההסתברות לקבלת תוצאה על הקובייה (גדול מ-4 או לא), לפיה נבחר הקד. לאחר מכן, בכל קד חישוב ההסתברות להוציא שני כדורים בצבע שונה: שחור-לבן או לבן-שחור, בהתייחס לעדכון מספר הכדורים לאחר ההוצאה הראשונה. ההסתברות הסופית היא סכום מכפלות הסתברויות עבור המסלולים המתאימים בעץ.
שאלה בסגנון 5 יח"ל - הסתברות עם עץ
רמת קושי: בגרות
יש שני קדים: קד א עם 10 כדורים (6 שחורים, 4 לבנים) וקד ב עם 8 כדורים (3 שחורים, 5 לבנים). מטילים קובייה אחת. אם נקבל תוצאה גדולה מארבע, הוצאה שני כדורים ללא החזרה מקד א, אחרת מקד ב. חשב את ההסתברות ששני הכדורים יהיו מבצבע שווי (שני שחורים או שני לבנים).
בגרות 5 יחידותהסתברותעץ הסתברותללא החזרה
רמז: השתמש בדיאגרמת עץ. בחישוב כל סיכוי, זכור לעדכן את בסיס הבחירה לאחר הוצאה ראשונה.
פתרון מלא
תשובה סופית: 2/3 * (6/10*5/9 + 4/10*3/9) + 1/3 * (3/8*2/7 + 5/8*4/7)
שלב 1: חישוב הסתברות בחירת הקד לפי תוצאת הקובייה: תוצאה >4: 2 צדדים מתוך 6, הסתברות 1/3, אחרת 2/3. שלב 2: חישוב ההסתברות להוציא שני כדורים שווי צבע בקד א: שחורים 6/10 * 5/9, לבנים 4/10 * 3/9. סכום הסתברויות לשווי צבע בקד א. שלב 3: חישוב ההסתברות להוציא שני כדורים שווי צבע בקד ב: שחורים 3/8 * 2/7, לבנים 5/8 * 4/7. סכום הסתברויות לשווי צבע בקד ב. שלב 4: חיבור הסתברויות של בחירת הקד כפול הסתברות שווי צבע בכל קד. התוצאה היא הסיכוי הכולל לשווי צבע.