MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · הסתברות

א5. הסתברות שיטת עבודה דיאגרמת עץ

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
וידאו

א1. הסתברות - הגדרות ושיטות עבודה

וידאו

א2. הסתברות - הגדרות ושיטות עבודה

וידאו

א3. הסתברות שיטת עבודה עם טבלא

וידאו

א4. הסתברות שיטת עבודה עם טבלא

וידאו

א5. הסתברות שיטת עבודה דיאגרמת עץ

וידאו

א6. הסתברות שיטת עבודה דיאגרמת עץ

וידאו

א7. הסתברות שיטת עבודה דיאגרמת ון

וידאו

א8. הסתברות שיטת עבודה דיאגרמת ון

וידאו

א9. הסתברות מותנית עם דיאגרמת עץ

וידאו

ב1. הסתברות גם או מותנית

וידאו

ב2. הסתברות טבלא דו מימדית

וידאו

ב3. הסתברות טבלא דו מימדית

וידאו

ב4. הסתברות טבלא דו מימדית

וידאו

ב5. הסתברות טבלא דו מימדית

סיכום שיעור

  • שיעור זה עוסק בשימוש בדיאגרמת עץ לפתרון בעיות הסתברות מורכבות, עם דוגמה של בחירת כדורים משני קופסאות בהתאם לתוצאת זריקת קובייה.
  • להבין מתי וכיצד להשתמש בדיאגרמת עץ בבעיות הסתברות
  • לזהות אירועים תלויים ולחשב הסתברויות ללא החזרה
  • ליישם חוקי ההסתברות של כפל וחיבור על מסלולי דיאגרמת עץ
  • להבדיל בין אירועים תלויים לאירועים בלתי תלויים במצבים מורכבים
  • הגדרת הבעיה והנתונים: הצגת שני הקופסאות עם הכדורים, והקשר בין תוצאת זריקת הקובייה לבחירת קופסה.
  • הבנת אירועים תלויים והוצאת כדורים ללא החזרה: הסבר כיצד כל הוצאה משנה את ההסתברות להוצאה הבאה, והשלכה על חישוב ההסתברויות במסלולי העץ.
  • יצירת דיאגרמת העץ וחישוב ההסתברויות: בניית דיאגרמת עץ עם אפשרויות ההוצאה לכל קופסה וחישוב ההסתברויות של כל מסלול בהתאם לתוצאת הקובייה וההוצאה ללא החזרה.

תרגול קצר

הסתברות להוציא כדור לבן מקופסה א' בזריקה אחת

רמת קושי: קל

ממתין

מה ההסתברות להוציא כדור לבן אם אני מוציא כדור אחד בלבד מקופסה א' (8 כדורים: 3 לבנים, 5 שחורים)?

הסתברותכדוריםקופסה א'

רמז: הסתברות היא חלק הכדורים הלבנים מתוך סך כל הכדורים בקופסה.

פתרון מלא

תשובה סופית: 3/8

מספר הכדורים הלבנים הוא 3 וסך כל הכדורים הוא 8. ההסתברות היא 3 חלקי 8.

הסתברות להוציא שתי כדורים לבנים ברצף מקופסה א' ללא החזרה

רמת קושי: בינוני

ממתין

מה ההסתברות להוציא שני כדורים לבנים ברצף מקופסה א' כאשר ההוצאה היא ללא החזרה?

הסתברותכדוריםקופסה א'ללא החזרה

רמז: חשב את ההסתברות להוצאת הכדור הראשון, לאחר מכן העדכן את המונה והמכנה והמשך לכדור השני.

פתרון מלא

תשובה סופית: 3/28

ההסתברות להוציא לבן ראשון היא 3/8. לאחר הוצאת כדור לבן, נותרו 2 כדורים לבנים ו-7 כדורים בסך הכל. ההסתברות להוציא לבן שני היא 2/7. לכן, ההסתברות הכוללת היא מכפלת שני אלה: 3/8 * 2/7 = 6/56 = 3/28.

הסתברות להוציא כדורים שווי צבע בהתנאים המתוארים בתרגיל

רמת קושי: מאתגר

ממתין

על פי תרחיש התרגיל – זריקת קובייה לבחירת קופסה והוצאה של שני כדורים ללא החזרה – מה הסיכוי שארז מוציא שני כדורים שווי צבע?

הסתברותדיאגרמת עץאירועים תלוייםללא החזרה

רמז: התחל מחישוב ההסתברות לבחור כל קופסה, חשב הסתברויות הוצאת שני כדורים שווי צבע בכל קופסה בנפרד, ואז חבר את ההסתברויות.

פתרון מלא

תשובה סופית: 71/210

אפשרויות הבחירה הן: - זריקת קוביה מקבלת 3 או 6 (2/6) -> קופסה א' - אחרת (4/6) -> קופסה ב' בקופסה א': הסתברויות להוצאת לבן לבן: (3/8)*(2/7), שחור שחור: (5/8)*(4/7) בקופסה ב': לבן לבן: (4/6)*(3/5), שחור שחור: (2/6)*(1/5) מכפילים כל תוצאה בסיכוי הבחירה המאוזן, ואז מחברים: P = (2/6)*[(3/8)*(2/7) + (5/8)*(4/7)] + (4/6)*[(4/6)*(3/5) + (2/6)*(1/5)] פישוט חישובים יוביל לתוצאה הסופית של ההסתברות.

חישוב הסתברות עם אירועים תלויים דוגמת שרשרת כדורים

רמת קושי: בגרות

ממתין

בהינתן שני קופסאות כדורים וזריקת קובייה כפי שבתרגיל, חשב את ההסתברות כי ייצאו שני כדורים שווי צבע.

הסתברותדיאגרמת עץבגרות

רמז: השתמש בדיאגרמת עץ למדידת כל האפשרויות, וציין את ההסתברויות בכל ענף לפני סיכום כל המסלולים הרצויים.

פתרון מלא

תשובה סופית: 71/210

ראו פתרון מפורט בתרגיל advanced. יש לבנות את דיאגרמת העץ, לחשב הסתברויות חלקיות לבחירת הקופסה, ולאחר מכן להמשיך בחישוב ההסתברות להוצאת כדורים שווי צבע בכל מסלול. לבסוף לחבר את התוצאות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

כיצד לחשב הסתברות הוצאת שני כדורים שווי צבע

שימוש בדיאגרמת עץ עבור בעיית ההסתברות

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ההסתברות ששני הכדורים יהיו שווי צבע (לבנים או שחורים)

  2. נתון 1

    קופסה א': 3 כדורים לבנים, 5 שחורים (סה"כ 8)

  3. נתון 2

    קופסה ב': 4 כדורים לבנים, 2 שחורים (סה"כ 6)

  4. נתון 3

    זריקת קובייה חד-פעמית

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    שימוש בדיאגרמת עץ לחישוב כל מסלול אפשרי, חישוב ההסתברויות במסלולים ושילוב באמצעות כפל וחיבור.

  6. נוסחה

    נכפיל כל הסתברות בהסתברות בחירת הקופסה מהקובייה ונחבר את כל המסלולים של

    P= (2/6)*[P_א(לבן לבן)+ P_א(שחור שחור)]+ (4/6)*[P_ב(לבן לבן)+ P_ב(שחור שחור)]
  7. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  8. פישוט

    קופסה א': 3 לבנים ו-5 שחורים; קופסה ב': 4 לבנים ו-2 שחורים.

    קופסה א': 3 לבנים ו-5 שחורים; קופסה ב': 4 לבנים ו-2 שחורים.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

זריקת קובייה וקבלת הקופסה

מה עושים

הקביעה היא שקופסה א' נבחרת אם תוצאת הקובייה היא 3 או 6, אחרת קופסה ב'.

למה

הבחירה בקופסה תלויה בתוצאת הקוביה.

הסתברות להגיע לקופסה א' היא 2 מתוך 6; לקופסה ב' – 4 מתוך 6.

יש לשים לב ליחסים הללו בהמשך החישובים

2

זיהוי נתונים

הרכב הכדורים בכל קופסה

מה עושים

קופסה א': 3 לבנים ו-5 שחורים; קופסה ב': 4 לבנים ו-2 שחורים.

למה

מספר הכדורים בכל צבע משפיע על ההסתברות להוציא כדור כלשהו.

מספר הכדורים משפיע על חישוב ההסתברות בהוצאה ללא החזרה.

3

בחירת שיטה

חישוב הסתברויות הוצאה של שני כדורים שווי צבע ללא החזרה

מה עושים

חשב את ההסתברות להוציא לבן-לבן ושחור-שחור בכל קופסה.

למה

כל אפשרות מייצגת ענף בדיאגרמת העץ.

חישוב נפרד לכל צבע ומכפלת ההסתברות של שני השלבים.

נוסחה / הצבה

P(LL) = N_לבנים / N_סהכ * (N_לבנים -1) / (N_סהכ -1)P(לבן לבן)= (מספר לבנים / סה"כ) * ((מספר לבנים -1) / (סה"כ -1))P(שחור שחור)= (מספר שחורים / סה"כ) * ((מספר שחורים -1) / (סה"כ -1))

זכור לעדכן את המכנה והמונה לאחר ההוצאה הראשונה.

4

בניית משוואה

הבעת ההסתברויות הכוללות

מה עושים

נכפיל כל הסתברות בהסתברות בחירת הקופסה מהקובייה ונחבר את כל המסלולים של צבעים שווים.

למה

על מנת לקבל את ההסתברות הכוללת לקבל שני כדורים שווי צבע.

ההסתברות הכוללת היא סכום ההסתברויות לכפול לבן-לבן ושחור-שחור בכל קופסה.

נוסחה / הצבה

P= (2/6)*[P_א(לבן לבן)+ P_א(שחור שחור)]+ (4/6)*[P_ב(לבן לבן)+ P_ב(שחור שחור)]

שימוש בכפל וחיבור לפי חוקי ההסתברות.

5

פתרון

חישוב ההסתברויות המדויקות לכל מסלול

מה עושים

חשב כל ביטוי נפרד והחלף במספרים בפועל.

למה

כך נוכל לקבל את המספרים הסופיים להשוואה וחיבור.

לדוגמה: P_א(לבן לבן) = (3/8)*(2/7)

שמור על דיוק ולא לצמצם מוקדם מידי.

6

תשובה

סכימת ההסתברויות וקבלת התוצאה הסופית

מה עושים

חבר את ההסתברויות של כל המסלולים וחישב את סכומן בשבר מופשט.

למה

זו התשובה לשאלה כיצד להצדיק את ההסתברות לקבל שני כדורים שווי צבע.

התוצאה היא 71 חלקי 210.

בדוק את הסכום כי הוא חייב להיות בין 0 ל-1.

פתרונות כלליים

  • הסתברות להוציא כדור לבן מקופסה א' בזריקה אחת: מספר הכדורים הלבנים הוא 3 וסך כל הכדורים הוא 8. ההסתברות היא 3 חלקי 8.
  • הסתברות להוציא שתי כדורים לבנים ברצף מקופסה א' ללא החזרה: ההסתברות להוציא לבן ראשון היא 3/8. לאחר הוצאת כדור לבן, נותרו 2 כדורים לבנים ו-7 כדורים בסך הכל. ההסתברות להוציא לבן שני היא 2/7. לכן, ההסתברות הכוללת היא מכפלת שני אלה: 3/8 * 2/7 = 6/56 = 3/28.
  • הסתברות להוציא כדורים שווי צבע בהתנאים המתוארים בתרגיל: אפשרויות הבחירה הן: - זריקת קוביה מקבלת 3 או 6 (2/6) -> קופסה א' - אחרת (4/6) -> קופסה ב' בקופסה א': הסתברויות להוצאת לבן לבן: (3/8)*(2/7), שחור שחור: (5/8)*(4/7) בקופסה ב': לבן לבן: (4/6)*(3/5), שחור שחור: (2/6)*(1/5) מכפילים כל תוצאה בסיכוי הבחירה המאוזן, ואז מחברים: P = (2/6)*[(3/8)*(2/7) + (5/8)*(4/7)] + (4/6)*[(4/6)*(3/5) + (2/6)*(1/5)] פישוט חישובים יוביל לתוצאה הסופית של ההסתברות.
  • חישוב הסתברות עם אירועים תלויים דוגמת שרשרת כדורים: ראו פתרון מפורט בתרגיל advanced. יש לבנות את דיאגרמת העץ, לחשב הסתברויות חלקיות לבחירת הקופסה, ולאחר מכן להמשיך בחישוב ההסתברות להוצאת כדורים שווי צבע בכל מסלול. לבסוף לחבר את התוצאות.
הפריט הקודםהפריט הבא