שיעור זה עוסק בטריגונומטריה במישור, כולל טריגו במשולש ישר זווית ומשולש כללי. נלמדו פונקציות הטריגונומטריות סינוס, קוסינוס וטנגנס, נוסחאות למשולש ישר זווית וכללי, ומשפט הסינוסים והקוסינוסים וכיצד למצוא אורכים וזוויות במשולשים.
להבין את היחסים בין הצלעות לזוויות במשולש ישר זווית באמצעות סינוס, קוסינוס וטנגנס
ליישם את משפט הסינוסים והקוסינוסים למציאת אורכים וזוויות במשולש כללי
להבחין מתי להשתמש במשפט פיתגורס ומתי בנוסחאות כלליות של משולשים
להשתמש במחשבון לחישוב ערכי סינוס, קוסינוס וטנגנס עם דיוק נדרש
לנתח תרחישים טריגונומטריים והבנת הקשר בין נתונים ניתנים לדרישות השאלה
פונקציות טריגונומטריות במשולש ישר זווית: הוגדרו פונקציות סינוס, קוסינוס, וטנגנס לפי יחס הצלעות במשולש ישר זווית: סינוס זווית הוא היחס בין הניצב מול היתר, קוסינוס היחס בין ניצב ליד ליתר, וטנגנס היחס בין הניצב מול לניצב ליד. פונקציית הקוטנגנס הוסרה כלא השימושית לפתרון בעיות.
שימוש במשפט פיתגורס וטריגונומטריה למציאת אורכים: הודגם כיצד להשתמש בסינוס וטנגנס למציאת אורכים נעלמים במשולש ישר זווית עם זווית וכמה אורך ידוע. סינוס של 40 מעלות היה לדוגמה ומנוצל לחישוב יתר ותיכון המשולש עם דיוקים לאחר חישוב בחישובונים.
משולש כללי ומשפטים למשולש רגיל: הצגה של משפט הסינוסים, משפט הקוסינוסים ונוסחת שטח המשולש ככלים לפתרון משולשים שאינם ישרי זווית. דוגמא לשימוש במשפט הקוסינוסים עם שתי צלעות וזווית כלואה ביניהן המובילה לנוסחה עם תיקון פיתגורס ולהוצאת ערכי צלעות וזוויות.

תרגול קצר

חישוב אורכי צלע במשולש ישר זווית בעזרת סינוס

רמת קושי: קל

ממתין

משולש ישר זווית עם זווית 40 מעלות ואורך ניצב מול של 5 סנטימטר. חשב את אורך היתר.

טריגונומטריהמשולש ישר זוויתסינוס

רמז: השתמש בסינוס של 40: סינוס 40 = ניצב מול / יתר

פתרון מלא

תשובה סופית: 7.79 סנטימטר

סינוס 40 = 5 / יתר יתר = 5 / סינוס 40 יתר = 5 / 0.642 = 7.79 ס"מ

חישוב צלע במשולש כללי בשימוש במשפט הקוסינוסים

רמת קושי: בינוני

ממתין

משולש עם צלעות ידועות של 5 ו-8 סנטימטר, והזווית בניהם 60 מעלות. חשב את אורך הצלע השלישית.

טריגונומטריהמשפט הקוסינוסיםמשולש כללי

רמז: השתמש במשפט הקוסינוסים: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos alpha

פתרון מלא

תשובה סופית: 7 סנטימטר

a^2 = 5^2 + 8^2 - 2*5*8*cos 60 a^2 = 25 + 64 - 80*0.5 = 89 - 40 = 49 a = שורש 49 = 7 ס"מ

חישוב זווית במשולש כללי בעזרת משפט הקוסינוסים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

במשולש עם צלעות באורך 5, 7 ו-8 סנטימטר, חשב את הזווית מול הצלע באורך 5 ס"מ.

משפט הקוסינוסיםחישוב זוויותמשולש כללי

רמז: השתמש במשפט הקוסינוסים כדי למצוא cos Alpha, ואז חשב אלפא באמצעות ארכוקוסינוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: 38.21 מעלות

5^2 = 7^2 + 8^2 - 2*7*8*cos Alpha 25 = 49 + 64 - 112 cos Alpha 25 = 113 - 112 cos Alpha 112 cos Alpha = 113 - 25 = 88 cos Alpha = 88 / 112 = 0.7857 Alpha = ארכוקוס(0.7857) = 38.21 מעלות

זיהוי הנוסחה המתאימה למשולש נתון

רמת קושי: בגרות

ממתין

תקבל משולש עם צלע 5, צלע 8 וזווית כלואה של 60 מעלות. יש צורך למצוא את הצלע השלישית והזווית מול הצלע 5. באיזה נוסחה תשתמש?

בחירת נוסחהמשולש כלליטריגונומטריה

רמז: משפט הקוסינוסים מתאים למצב של שתי צלעות וזווית כלואה ביניהן; משפט הסינוסים מאפשר למצוא זוויות לאחר ידיעת צלע.

פתרון מלא

תשובה סופית: משפט הקוסינוסים ואז משפט הסינוסים

שלב ראשון: השתמש במשפט הקוסינוסים לחישוב הצלע השלישית. שלב שני: השתמש במשפט הסינוסים לחישוב הזווית המתאימה לצלע 5.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל חישוב היתר במשולש ישר-זווית

כיצד לחשב אורך היתר כאשר ידועים זווית וניצב מול

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא אורך היתר במשולש
נתון 1
נתון 1
זווית alpha = 40 מעלות
נתון 2
נתון 2
אורך הניצב שמול הזווית = 5 ס"מ
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בהגדרת סינוס ונבודד את אורך היתר במשוואה ונחשב בעזרת מכשיר מחשבון.
נוסחה
הכפל את שני האגפים כדי לבודד את היתר
יתר = מול / sin alphaיתר = מול / sin(alpha)יתר = (מול)/(())
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
חשב סינוס 40 וצא לחישוב היתר
חשב סינוס 40 וצא לחישוב היתר
תוצאה
מסיימים בתשובה
רשום את התשובה הסופית

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתוני הבעיה

מה עושים

רשום את הזווית והצלע הנתונה

למה

חשוב להבין מה ידוע ומה יש לחשב

זווית alpha = 40 מעלות וניצב מול באורך 5 ס"מ

בחירת שיטה

הגדרת סינוס לצלעות

מה עושים

כתוב את משפט סינוס: סינוס alpha שווה ניצב מול חלקי היתר

למה

זו ההגדרה שמאפשרת חישוב אורך היתר

sin(alpha) = מול / יתר

נוסחה / הצבה

sin alpha = מול / יתרsin(alpha) = מול / יתר() = (מול)/(יתר)

בניית משוואה

ניסוח משוואה למציאת היתר

מה עושים

הכפל את שני האגפים כדי לבודד את היתר

למה

כדי לעשות חישוב ונמצא את המשתנה המבוקש

יתר = מול חלקי sin(alpha)

נוסחה / הצבה

יתר = מול / sin alphaיתר = מול / sin(alpha)יתר = (מול)/(())

חשוב להשתמש בערך סינוס מדויק במחשבון

פתרון

חשב את הערך בעזרת המחשבון

מה עושים

חשב סינוס 40 וצא לחישוב היתר

למה

ערכים מספריים מגדירים את התוצאה המדויקת

sin(40) ≈ 0.642 יתר = 5 / 0.642 ≈ 7.79 ס"מ

שמור על לפחות 2-3 ספרות אחרי הנקודה

תשובה

סיכום התוצאה

מה עושים

רשום את התשובה הסופית

למה

כדי להבין את משמעות החישוב עבור השאלה

אורך היתר הוא כ-7.79 ס"מ

פתרונות כלליים

חישוב אורכי צלע במשולש ישר זווית בעזרת סינוס: סינוס 40 = 5 / יתר יתר = 5 / סינוס 40 יתר = 5 / 0.642 = 7.79 ס"מ
חישוב צלע במשולש כללי בשימוש במשפט הקוסינוסים: a^2 = 5^2 + 8^2 - 2*5*8*cos 60 a^2 = 25 + 64 - 80*0.5 = 89 - 40 = 49 a = שורש 49 = 7 ס"מ
חישוב זווית במשולש כללי בעזרת משפט הקוסינוסים: 5^2 = 7^2 + 8^2 - 2*7*8*cos Alpha 25 = 49 + 64 - 112 cos Alpha 25 = 113 - 112 cos Alpha 112 cos Alpha = 113 - 25 = 88 cos Alpha = 88 / 112 = 0.7857 Alpha = ארכוקוס(0.7857) = 38.21 מעלות
זיהוי הנוסחה המתאימה למשולש נתון: שלב ראשון: השתמש במשפט הקוסינוסים לחישוב הצלע השלישית. שלב שני: השתמש במשפט הסינוסים לחישוב הזווית המתאימה לצלע 5.

הפריט הקודם הפריט הבא

א1. טריגונומטריה במישור משולש ישר זווית ומשולש כללי

ניווט לפי נושאים

טריגו במישור

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא אורך היתר במשולש

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

הכפל את שני האגפים כדי לבודד את היתר

נבנה משוואה

חשב סינוס 40 וצא לחישוב היתר

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתוני הבעיה

הגדרת סינוס לצלעות

ניסוח משוואה למציאת היתר

חשב את הערך בעזרת המחשבון

סיכום התוצאה

פתרונות כלליים