השיעור מתמקד בפתרון תרגיל בטריגונומטריה במישור הכולל פרמטרים, באמצעות פירוק משולשים וכתיבת ביטויים לשטח המשולש באמצעות פונקציות טריגונומטריות.
לבטא אורכי צלעות במשולש באמצעות פונקציות טריגונומטריות
להעזר במשפטי טריגונומטריה לפתרון משולשים עם פרמטרים
לחבר ביטוי לשטח משולש באמצעות גובה ובסיס
לפתור משוואות טריגונומטריות בהרכבים מורכבים
הכרת נתוני הבעיה: המשולש ABC עם נתונים על אורכי קטעים ויחסים טריגונומטריים בניהם.
הבעה של אורכי קטעים: הבעה של קטעים BD ו-AD באמצעות פונקציות סינוס וקוסינוס של זווית α ופונקציית A הפרמטרית.
חישוב השטח: חישוב שטח המשולש באמצעות גובה BD ובסיס DE והכפלה בחצי.

תרגול קצר

חשב את BD

רמת קושי: קל

ממתין

נתון משולש ABC עם פרמטר A וזווית α. הביע את אורך הקטע BD באמצעות A, סינוס α וקוסינוס α.

טריגונומטריהפרמטריםאורכים

רמז: השתמש במשפטי טריגונומטריה שקוסינוס α = AB / 2A.

פתרון מלא

תשובה סופית: BD = 2A סינוס α קוסינוס α

משפט קוסינוס נותן BD = 2A סינוס α קוסינוס α.

חשב את DE

רמת קושי: בינוני

ממתין

הבע ביטוי עבור DE במשולש ABC לפי A ו-α, כאשר DE = A פחות AD ו-AD מבוטא כ- 2A קוסינוס בריבוע α.

טריגונומטריהפרמטרים

רמז: כתוב DE = A - AD והחלף את ערך AD.

פתרון מלא

תשובה סופית: DE = A(1 - 2 קוסינוס בריבוע α)

DE = A - 2A קוסינוס בריבוע α = A(1 - 2 קוסינוס בריבוע α)

חשב את שטח המשולש ABC

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את שטח המשולש ABC באמצעות הביטויים שמצאת עבור BD ו-DE, כאשר השטח שווה לחצי מכפולת הבסיס בגובה.

טריגונומטריהשטחפרמטרים

רמז: שטח = 0.5 * BD * DE. החלף בערכים של BD ו-DE ונסה לפשט.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח = A^2 סינוס α קוסינוס α (1 - 2 קוסינוס בריבוע α)

שטח = חצי כפול (2A סינוס α קוסינוס α) כפול (A(1 - 2 קוסינוס בריבוע α)) = A^2 סינוס α קוסינוס α (1 - 2 קוסינוס בריבוע α)

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

א7. חישוב שטח משולש עם פרמטרים וטריגונומטריה

פתרון תרגיל עם ביטויים טריגונומטריים

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא שטח המשולש ABC
נתון 1
A פרמטר אורכי
נתון 2
α זווית במשולש
נתון 3
AE שווה ל-AC
רעיון
הרעיון המרכזי
הבע תחילה את אורכי BD ו-DE בעזרת פונקציות טריגונומטריות, ולאחר מכן חשב את השטח כגובה כפול בסיס
נוסחה
BD = 2A סינוס α קוסינוס α, AD = 2A קוסינוס בריבוע α
BD = 2A * sin(α) * cos(α)AD = 2A * cos^2(α)
משוואה
DE = A - AD = A (1 - 2 קוסינוס בריבוע α)
DE = A - AD = A (1 - 2 קוסינוס בריבוע α)
DE = A - ADDE = A (1 - 2 * cos^2(α))
פישוט
שטח = חצי כפול BD כפול DE
שטח = חצי כפול BD כפול DE
שטח = 0.5 * BD * DE

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הנתונים במשולש

מה עושים

נכנס לחשוב על אורכי הקטעים והזווית α.

למה

הבנת הנתונים חיונית לפתירת התרגיל.

A, α, AE=AC, BD=A מוגדרים מראש.

בחירת שיטה

הבע אורכי קטעים

מה עושים

בודקים כיצד להביע את BD ו-DE בעזרת α ו-A.

למה

להפוך את הבעיה לנוסחאות ברורות לפתרון.

BD ו-DE מופיעים כחלק מהשטח.

בניית משוואה

הבע BD ו-AD באמצעות סינוס וקוסינוס

מה עושים

BD = 2A סינוס α קוסינוס α, AD = 2A קוסינוס בריבוע α

למה

בשיטה זו אפשר לקבל ביטוי מדויק לאורכי הקטעים.

נוסחה / הצבה

BD = 2A * sin(α) * cos(α)AD = 2A * cos^2(α)

בניית משוואה

חשוב DE מהנתון ו-AD

מה עושים

DE = A - AD = A (1 - 2 קוסינוס בריבוע α)

למה

אפשר להגדיר את הבסיס של המשולש לשם חישוב השטח.

נוסחה / הצבה

DE = A - ADDE = A (1 - 2 * cos^2(α))

פתרון

חשב את השטח

מה עושים

שטח = חצי כפול BD כפול DE

למה

חישוב השטח הוא המטרה הסופית של התרגיל.

הכנס והפשט את הביטויים שהתקבלו.

נוסחה / הצבה

שטח = 0.5 * BD * DEשטח = 0.5 * (2A sin(α) cos(α)) * (A (1 - 2 cos^2(α)))שטח = A^2 sin(α) cos(α) (1 - 2 cos^2(α))

ניתן להשתמש ב-0.5 כפול במקום לחלק ב-2 להפחתת טעויות.

פתרונות כלליים

חשב את BD: משפט קוסינוס נותן BD = 2A סינוס α קוסינוס α.
חשב את DE: DE = A - 2A קוסינוס בריבוע α = A(1 - 2 קוסינוס בריבוע α)
חשב את שטח המשולש ABC: שטח = חצי כפול (2A סינוס α קוסינוס α) כפול (A(1 - 2 קוסינוס בריבוע α)) = A^2 סינוס α קוסינוס α (1 - 2 קוסינוס בריבוע α)

הפריט הקודם הפריט הבא

א7. פתרון תרגיל עם פרמטרים בטריגו במישור

ניווט לפי נושאים

טריגו במישור

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא שטח המשולש ABC

A פרמטר אורכי

α זווית במשולש

AE שווה ל-AC

הרעיון המרכזי

BD = 2A סינוס α קוסינוס α, AD = 2A קוסינוס בריבוע α

DE = A - AD = A (1 - 2 קוסינוס בריבוע α)

שטח = חצי כפול BD כפול DE

פתרון מפורט

הנתונים במשולש

הבע אורכי קטעים

הבע BD ו-AD באמצעות סינוס וקוסינוס

חשוב DE מהנתון ו-AD

חשב את השטח

פתרונות כלליים