בלמידה זו נלמד הוכחות במעגל החסום ויישום משפט הסינוסים למציאת צלעות וזוויות במשולשים במישור.
להבין תכונות של מרובעים חסומים במעגל.
להוכיח שטרפז חסום במעגל הוא תרשש.
ליישם את משפט הסינוסים למציאת צלעות במשולשים שונים.
לחשב זוויות באמצעות סיכום זוויות במשולשים ובמרובעים.
תכונות מרובע חסום במעגל והוכחת תרשש: הוכחנו שטרפז חסום במעגל הוא תרשש על ידי שתי גישות: שימוש בזוויות היקפיות והשוואת מיתרים, והשימוש בזוויות נגדיות שסכומן 180 מעלות.
שימוש במשפט הסינוסים למציאת צלעות במשולשים: השתמשנו ב-R המעגלוני ובמשפט הסינוסים במשולשים כדי לבטא צלעות הבסיס והשוקיים דרך זוויות ופונקציות סינוס.
חישוב זוויות במשולשים: הוצאנו את הזוויות שאינן ידועות על ידי הצבת משתנה X והפעלת סיכום זוויות במשולש ומרובע חסום במעגל.

תרגול קצר

מצא את אורך הצלע AB במשולש ABC

רמת קושי: קל

ממתין

בהינתן רדיוס המעגל החסום R וזווית α, חשב את אורך הצלע AB כשהוא שווה ל-2R סינוס 3α.

משפט הסינוסיםחישוב אורך צלע

רמז: השתמש במשפט הסינוסים וכתוב את הביטוי עבור AB.

פתרון מלא

תשובה סופית: AB = 2R סינוס 3α

לפי משפט הסינוסים, AB = 2R * סינוס של 3α.

חשב את אורך השוקיים במשולש ADC

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן זווית α ורדיוס המעגל החסום R, חשב את אורך השוק ADC כשידוע ש-DC = 2R סינוס α והשוקיים מול זווית X לא ידועים.

חישוב זוויותמשפט הסינוסים

רמז: מצא את זווית X באמצעות סיכום זוויות, ואז השתמש במשפט הסינוסים.

פתרון מלא

תשובה סופית: שוק = 2R סינוס (90 - 2α)

קרא לזווית מול השוק X. מאז α + 2X + 3α = 180 2X = 180 - 4α X = 90 - 2α לכן השוק = 2R סינוס X = 2R סינוס (90 - 2α)

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון - מציאת אורך הצלעות במשולש במעגל חסום

יישום משפט הסינוסים במשולש

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא אורך הצלע AB
נתון 1
רדיוס המעגל החסום R
נתון 2
זווית 3α במשולש ABC
רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש במשפט הסינוסים על מנת לבטא את אורך AB דרך זוויות המעגל והמשולש.
נוסחה
AB חלקי סינוס 3α שווה ל-2R.
AB / sin 3α = 2RAB / sin(3α) = 2R(AB)/( 3) = 2R
משוואה
בדוק אם היחידות נכונות ואם הנוסחה סבירה מבחינה גאומטרית.
בדוק אם היחידות נכונות ואם הנוסחה סבירה מבחינה גאומטרית.
פישוט
כפל שני האגפים בסינוס 3α כדי למצוא AB.
כפל שני האגפים בסינוס 3α כדי למצוא AB.
AB = 2R * sin 3αAB = 2R * sin(3α)
תוצאה
מסיימים בתשובה
אורך הצלע AB שווה ל-2R כפול סינוס 3α.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

רדיוס המעגל וזווית 3α

מה עושים

יש את רדיוס המעגל החסום R ואת הזווית 3α במשולש ABC.

למה

הנתונים הם הבסיס לשימוש במשפט הסינוסים.

בחירת שיטה

משפט הסינוסים

מה עושים

משפט הסינוסים קובע שאורך צלע חלקי סינוס הזווית מולו שווה ל-2R.

למה

משפט זה מאפשר לבטא אורכים ידועים יחסית לזוויות ומעגל.

בניית משוואה

ניסוח משוואה עם AB

מה עושים

AB חלקי סינוס 3α שווה ל-2R.

למה

זהו הביטוי המקשר בין AB לזווית 3α ולרדיוס R.

נוסחה / הצבה

AB / sin 3α = 2RAB / sin(3α) = 2R(AB)/( 3) = 2R

פתרון

חישוב AB

מה עושים

כפל שני האגפים בסינוס 3α כדי למצוא AB.

למה

כך מבטאים את AB במונחים של R ו-α.

נוסחה / הצבה

AB = 2R * sin 3αAB = 2R * sin(3α)AB = 2R x 3

זכור: משוואה זו היא צורת הביטוי המינימלית והפשוטה.

בדיקה

וודא את התוצאה

מה עושים

בדוק אם היחידות נכונות ואם הנוסחה סבירה מבחינה גאומטרית.

למה

אורך צלע הוא חיובי ותלוי בזוויות בצורה הגיונית.

תשובה

פתרון הסופי

מה עושים

אורך הצלע AB שווה ל-2R כפול סינוס 3α.

למה

התוצאה מבוססת על משפט הסינוסים והנתונים שהוצגו.

פתרונות כלליים

מצא את אורך הצלע AB במשולש ABC: לפי משפט הסינוסים, AB = 2R * סינוס של 3α.
חשב את אורך השוקיים במשולש ADC: קרא לזווית מול השוק X. מאז α + 2X + 3α = 180 2X = 180 - 4α X = 90 - 2α לכן השוק = 2R סינוס X = 2R סינוס (90 - 2α)

הפריט הקודם הפריט הבא

ב6. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

ניווט לפי נושאים

טריגו במישור

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא אורך הצלע AB

רדיוס המעגל החסום R

זווית 3α במשולש ABC

הרעיון המרכזי

AB חלקי סינוס 3α שווה ל-2R.

בדוק אם היחידות נכונות ואם הנוסחה סבירה מבחינה גאומטרית.

כפל שני האגפים בסינוס 3α כדי למצוא AB.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

רדיוס המעגל וזווית 3α

משפט הסינוסים

ניסוח משוואה עם AB

חישוב AB

וודא את התוצאה

פתרון הסופי

פתרונות כלליים