MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · טריגו במישור

ב4. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
7 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א8. פתרון תרגיל עם פרמטרים בטריגו במישור

וידאו

ב1. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

וידאו

ב2. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

וידאו

ב3. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

וידאו

ב4. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

וידאו

ב5. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

וידאו

ב6. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

וידאו

ב7. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

וידאו

ב8. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

וידאו

ב9. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

וידאו

ג1. טריגו במשולש ישר זווית פתרון מלא לתרגיל

וידאו

ג2. טריגו במשולש ישר זווית פתרון מלא לתרגיל

וידאו

ג3. טריגו במשולש ישר זווית פתרון מלא לתרגיל

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בשימוש במשפט הקוסינוס במשולשים במישור על מנת להוכיח זהויות וגילויים בין צלעות וזוויות. נלמד כיצד לעבוד עם תיכונים, תכונותיהם, וכתיבת משוואות טריגונומטריות מתאימות.
  • להכיר תכונות מרכזיות של תיכונים במשולש
  • להבין את משפט הקוסינוס בהקשר למשולשים במישור
  • ליישם משפט הקוסינוס להוכחות אלגבריות של זהויות בין צלעות וזוויות
  • לתרגל פיתוח אלגברית טריגונומטרית כחלק מההוכחה
  • מאפייני תיכונים במשולש: תיכונים במשולש נפגשים בנקודה המפרידה אותם ביחס 2 ל-1, והם אינם קשורים למעגל במובן של מרכז מעגל חסום.
  • שימוש במשפט הקוסינוס: משפט הקוסינוס מאפשר לכתוב ביטוי של ריבוע הצלע לפי צלעות אחרות וזווית ביניהן. בשיעור יושם משפט הקוסינוס לאחר חלוקת התיכון לקטעים מתאימים.

תרגול קצר

חישוב אורך באמצעות משפט הקוסינוס

רמת קושי: קל

ממתין

נתון משולש ABC עם צלעות AB=7, AC=5 וזווית בין AB ל-AC היא 60 מעלות. מצא את אורך הצלע BC.

משפט הקוסינוסחישוב אורךמשולשים

רמז: השתמש במשפט הקוסינוס עם הזווית הנתונה.

פתרון מלא

תשובה סופית: שורש 39

לפי משפט הקוסינוס: BC² = AB² + AC² - 2*AB*AC*cos(60°) = 7² + 5² - 2*7*5*0.5 = 49 + 25 - 35 = 39. לכן BC = שורש(39).

הוכחה באמצעות חלוקת תיכון וטריגונומטריה

רמת קושי: בינוני

ממתין

במשולש נתונים תיכונים M ו-N לצלעות שונות ונוצרת זווית אלפא בין התיכונים. הוכח שקוסינוס אלפא שווה לביטוי (4N² + 4M² - 9A² - 8MN cosα)/ (8MN) באמצעות משפט הקוסינוס ונתוני החלוקה בתיכון.

הוכחהמשפט הקוסינוסתיכוניםמתיכון

רמז: השתמש במה שידוע על חלוקת תיכון ליחס 2 ל-1, ואז החל משפט הקוסינוס על הטריאנגל הנוצר.

פתרון מלא

תשובה סופית: קוסינוס α = (4N² + 4M² - 9A² - 8MN cosα) / 8MN

נחלק את התיכון לקטעים ביחס 2 ל-1. נשתמש במשפט הקוסינוס על הזווית אלפא בין התיכונים וכתוב משוואות בריבועי אורכי הצלעות. פיתוח אלגברי של המשוואה יוביל לביטוי לביטוי המבוקש של קוסינוס אלפא.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון הוכחה עם תיכונים במשולש

כיצד להוכיח ביטוי עבור קוסינוס הזווית בין תיכונים

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא חישוב הביטוי לקוסינוס α באמצעות אורכי התיכונים וצלע A

  2. נתון 1

    משולש עם צלעות A, B, C

  3. נתון 2

    תיכונים M ו-N משתי צלעות שונות

  4. נתון 3

    זווית α בין שני התיכונים

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לחלץ אורכים חלקיים בתיכונים באמצעות יחס 2 ל-1, ואז להחיל את משפט הקוסינוס ולפתח אלגברה

  6. נוסחה

    הרכיבו משוואה לפי משפט הקוסינוס על הזווית α בין התיכונים.

    A בריבוע= B בריבוע+ C בריבוע- 2 כפול B כפול C כפול קוסינוס αA^2 = B^2 + C^2 - 2*B*C*cos(α)
  7. משוואה

    מסמנים תיכונים M ו-N וצלע A, מגדירים זווית α בין התיכונים.

    מסמנים תיכונים M ו-N וצלע A, מגדירים זווית α בין התיכונים.

  8. פישוט

    אספו את כל הביטויים, העבירו אגפים ופשטו את המשוואה לפי ביטוי המבוקש.

    אספו את כל הביטויים, העבירו אגפים ופשטו את המשוואה לפי ביטוי המבוקש.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתון משולש ותיכונים

מה עושים

מסמנים תיכונים M ו-N וצלע A, מגדירים זווית α בין התיכונים.

למה

חשוב להגדיר משתנים וזוויות לפני התחלת ההוכחה.

2

בחירת שיטה

חלקו תיכונים לקטעים

מה עושים

מחלקים כל תיכון ביחס 2 ל-1 לקטעים: 2/3 ו-1/3 מאורך התיכון.

למה

תכונת תיכון מרכזית המסייעת להגדרת נקודות ומרחקים לפיתוח המשוואה.

3

בניית משוואה

השתמשו במשפט הקוסינוס

מה עושים

הרכיבו משוואה לפי משפט הקוסינוס על הזווית α בין התיכונים.

למה

משפט הקוסינוס קושר בין אורכי הצלעות לזווית ביניהן, מה שיאפשר להביע את קוסינוס α.

נוסחה / הצבה

A בריבוע= B בריבוע+ C בריבוע- 2 כפול B כפול C כפול קוסינוס αA^2 = B^2 + C^2 - 2*B*C*cos(α)

חלוקה נכונה של התיכונים חיונית לדיוק המשוואה.

4

פתרון

פתחו בצורה אלגברית

מה עושים

אספו את כל הביטויים, העבירו אגפים ופשטו את המשוואה לפי ביטוי המבוקש.

למה

פיתוח אלגברית מאפשר לבודד את קוסינוס α ולהגיע לביטוי הרצוי.

שימו לב לתשומות ולהעברות אגפים כדי למנוע טעויות

5

תשובה

הציגו את התוצאה הסופית

מה עושים

הביעו את קוסינוס α באמצעות האורך של התיכונים וצלע A על פי הביטוי הדרוש להוכחה.

למה

זהו המסקנה של ההוכחה שמקשרת בין הזווית לאורכים בהתחשב בתכונות התיכונים.

נוסחה / הצבה

קוסינוס אלפא = (4N בריבוע ועוד 4M בריבוע פחות 9A בריבוע פחות 8MN כפול קוסינוס אלפא) חלקי 8MNקוסינוס α= (4N בריבוע+ 4M בריבוע

פתרונות כלליים

  • חישוב אורך באמצעות משפט הקוסינוס: לפי משפט הקוסינוס: BC² = AB² + AC² - 2*AB*AC*cos(60°) = 7² + 5² - 2*7*5*0.5 = 49 + 25 - 35 = 39. לכן BC = שורש(39).
  • הוכחה באמצעות חלוקת תיכון וטריגונומטריה: נחלק את התיכון לקטעים ביחס 2 ל-1. נשתמש במשפט הקוסינוס על הזווית אלפא בין התיכונים וכתוב משוואות בריבועי אורכי הצלעות. פיתוח אלגברי של המשוואה יוביל לביטוי לביטוי המבוקש של קוסינוס אלפא.
הפריט הקודםהפריט הבא