MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · טריגו במישור

ב9. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
12 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ב5. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

וידאו

ב6. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

וידאו

ב7. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

וידאו

ב8. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

וידאו

ב9. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

וידאו

ג1. טריגו במשולש ישר זווית פתרון מלא לתרגיל

וידאו

ג2. טריגו במשולש ישר זווית פתרון מלא לתרגיל

וידאו

ג3. טריגו במשולש ישר זווית פתרון מלא לתרגיל

סיכום שיעור

  • בשיעור זה נלמד ליישם את משפט הקוסינוסים למציאת אלכסונים במרובעים חסומים במעגל, תוך שימוש בשוויון בין שתי צורות המשוואות להסרת זוויות והגעה לתוצאה.
  • להבין כיצד להשתמש במשפט הקוסינוסים למציאת אלכסון במרובע חסום במעגל
  • לזהות זוויות משלימות במרובע חסום במעגל ולנצל זאת בחישובים טריגונומטריים
  • לנסח משוואות באמצעות משפט הקוסינוסים ולפתור אותן למציאת אורכי צלעות ואלכסונים
  • הצגת הבעיה: הצגת מרובע חסום במעגל עם כל צלעותיו נתונות והצורך למצוא אלכסון BD באמצעות משפט הקוסינוסים.
  • כתיבת המשוואות: כתיבת שתי משוואות עבור X בריבוע המשתמשות בזוויות אלפא ו-180 פחות אלפא ויישום זהויות טריגו.
  • פתרון המשוואות: השוואת שתי הנוסחאות ופישוטם עד למציאת ערכו של קוסינוס אלפא ולבסוף מציאת אורכו של האלכסון.

תרגול קצר

חישוב אלכסון במרובע חסום במעגל

רמת קושי: קל

ממתין

יש מרובע חסום במעגל עם צלעות 6, 8, 10 ו-12. חשב את אורך האלכסון BD בעזרת משפט הקוסינוסים.

טריגונומטריהמשפט הקוסינוסיםמרובע חסום במעגל

רמז: השתמש במשפט הקוסינוסים פעמיים - עבור הזוויות המתאימות במרובע החסום במעגל, וכתוב שני ביטויים שונים עבור האלכסון BD כדי ליצור משוואה לפתרון.

פתרון מלא

תשובה סופית: האורך של האלכסון BD הוא כ-11.9 יחידות.

מסמנים את האלכסון שאנו רוצים למצוא כ-X. כותבים שני ביטויים למשוואת X בריבוע על פי משפט הקוסינוסים, כאשר בזווית הראשונה ניסמן אלפא ובשנייה 180 פחות אלפא. משתמשים בזהות כי קוסינוס של (180 - אלפא) שווה מינוס קוסינוס אלפא, משווים את שני הביטויים ומפשטים כדי למצוא את קוסינוס אלפא. מחליפים חזרה במשוואה ומחשבים את אורך האלכסון X באמצעות חישוב שורש.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל מציאת אלכסון במרובע חסום במעגל

שימוש במשפט הקוסינוסים ונכונות זוויות במרובע חסום במעגל

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא אורך האלכסון BD

  2. נתון 1

    צלעות המרובע: 6, 8, 10, 12

  3. נתון 2

    המרובע חסום במעגל

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לכתוב שתי משוואות של משפט הקוסינוסים על האלכסון BD בזוויות השלימות במרובע ולהשוות ביניהן לפתרון.

  5. נוסחה

    נכתוב X בריבוע לפי משפט הקוסינוסים בזווית 180 פחות אלפא בצלעות השנייה

    X^2 = 10^2 + 12^2 - 2*10*12*cos(180 - alpha)
  6. משוואה

    משנים את קוסינוס (180 - אלפא) למינוס קוסינוס אלפא

    משנים את קוסינוס (180 - אלפא) למינוס קוסינוס אלפא

    cos(180 - alpha) = -cos(alpha)
  7. פישוט

    משווים בין שתי המשוואות שקיבלנו ומעבירים אגפים

    משווים בין שתי המשוואות שקיבלנו ומעבירים אגפים

    100 - 96*cos(alpha) = 244 - 240*cos(alpha)
  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    מוצאים את cos(alpha) ומשלבים לאחזור X, מחשבים שורש ומקבלים את המספר הסופי

    cos(alpha) = -144 / 336X^2 = 100 - 96 * cos(alpha)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת נתונים ומטרה

מה עושים

מסמנים את האלכסון BD כ-X ומוסיפים את הזוויות הרלוונטיות

למה

זיהוי המטרה והנתונים חשוב לתכנון הפתרון

האלכסון BD הוא שאינו ידוע, ונסמן אותו X. נזהה זווית אלפא במרובע ומקבילה לה 180 פחות אלפא

2

בחירת שיטה

כתיבת משוואת הקוסינוסים הראשונה

מה עושים

נכתוב X בריבוע לפי משפט הקוסינוסים בזווית אלפא בצלעות המתאימות

למה

כדי לקבל ביטוי שמכיל את X ואלפא

X בריבוע שווה ל-6 בריבוע + 8 בריבוע - 2 כפול 6 כפול 8 כפול קוסינוס אלפא

נוסחה / הצבה

X^2 = 6^2 + 8^2 - 2*6*8*cos(alpha)

זכרו להציב נכון את אורכי הצלעות והזווית

3

בחירת שיטה

כתיבת משוואת הקוסינוסים השנייה

מה עושים

נכתוב X בריבוע לפי משפט הקוסינוסים בזווית 180 פחות אלפא בצלעות השנייה

למה

כדי לקבל ביטוי שני ל-X שייקח זווית משלימה

X בריבוע שווה ל-10 בריבוע + 12 בריבוע - 2 כפול 10 כפול 12 כפול קוסינוס (180 - אלפא)

נוסחה / הצבה

X^2 = 10^2 + 12^2 - 2*10*12*cos(180 - alpha)

השתמשו בזהות קוסינוס לזווית משלימה

4

בניית משוואה

החלפת זהות הקוסינוס של זווית משלימה

מה עושים

משנים את קוסינוס (180 - אלפא) למינוס קוסינוס אלפא

למה

כדי לפשט את המשוואה וליצור משוואה אחת עם משתנה אחד

cos(180 - alpha) = -cos(alpha) לכן מתקבלת משוואה פשוטה

נוסחה / הצבה

cos(180 - alpha) = -cos(alpha)

הזהות חשובה לפישוט המשוואה

5

בניית משוואה

השוואת שתי המשוואות ופישוט

מה עושים

משווים בין שתי המשוואות שקיבלנו ומעבירים אגפים

למה

לקבלת משוואה לפתרון קוסינוס אלפא

משווים X בריבוע משני הביטויים ומבודדים cos(alpha)

נוסחה / הצבה

100 - 96*cos(alpha) = 244 - 240*cos(alpha)

פשטו לאט והקפידו על סימנים

6

פתרון

חישוב ערך קוסינוס אלפא ואורך האלכסון

מה עושים

מוצאים את cos(alpha) ומשלבים לאחזור X, מחשבים שורש ומקבלים את המספר הסופי

למה

לפתרון מספרי של אורך האלכסון המבוקש

cos(alpha) = -144 / 336 כעת מחליפים בחזרה ומשתמשים בנוסחה לחישוב X

נוסחה / הצבה

cos(alpha) = -144 / 336X^2 = 100 - 96 * cos(alpha)X = שורש של X^2

השתמשו במחשבון מדויק לחישוב השורש והכפולות

פתרונות כלליים

  • חישוב אלכסון במרובע חסום במעגל: מסמנים את האלכסון שאנו רוצים למצוא כ-X. כותבים שני ביטויים למשוואת X בריבוע על פי משפט הקוסינוסים, כאשר בזווית הראשונה ניסמן אלפא ובשנייה 180 פחות אלפא. משתמשים בזהות כי קוסינוס של (180 - אלפא) שווה מינוס קוסינוס אלפא, משווים את שני הביטויים ומפשטים כדי למצוא את קוסינוס אלפא. מחליפים חזרה במשוואה ומחשבים את אורך האלכסון X באמצעות חישוב שורש.
הפריט הקודםהפריט הבא