וידאו · חקירה מלאה של פונקציה
ד2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בחקירה מלאה של פונקציית מנה המערבת שורש, כולל חישוב נגזרות תוך עבודה מדוקדקת עם נגזרת פונקציית השורש, פישוט ביטויים, מציאת נקודות קריטיות ובדיקת ערכי הפונקציה בשורשים ספציפיים.
- לחקור פונקציית מנה הכוללת שורש.
- לחשב נגזרות של פונקציות מורכבות עם גזירה פנימית.
- לפתור משוואות תוך שימוש בנוסחאות נגזורות וחישובים אלגבריים.
- לאבחן נקודות קריטיות ולבצע בדיקה של ערכי הפונקציה בנקודות אלו.
- הכנה לגזירה של פונקציית מנה עם שורש: פירוק הפונקציה לשני חלקים f ו-g והכנת נגזרותיהם לצורך גזירה נכונה.
- חשבון נגזרות ופישוט הביטוי: יצירת הנוסחה המלאה לנגזרת פונקציית המנה, ביצוע כפל ומונה בשברים, ופישוט ביטויים אלגבריים עם שורשים.
- פתרון המשוואה ובדיקת נקודות קריטיות: יישום פישוטים והוצאת גורמים משותפים לפתרון המשוואות לנקודת אפס של הנגזרת ובדיקה.
תרגול קצר
חישוב נגזרת פונקציית מנה פשוטה
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה f(x) = (x^2)/(√(1 - x^2)). חשב את הנגזרת f'(x).
רמז: השתמש בנוסחה לגזירת מנה ובנגזרת פונקציית השורש.
פתרון מלא
תשובה סופית: f'(x) = (2x√{1-x^2} + x^3/√{1-x^2}) / (1 - x^2)
נגדיר f = x^2, g = √(1 - x^2) נגזרות: f' = 2x, g' = -x / √(1 - x^2) לכן הנגזרת היא: f' = (2x * √(1 - x^2) - x^2 * (-x / √(1 - x^2))) / (√(1 - x^2))^2 פשטול הביטוי ומכנים מובילים ל: f' = [2x√(1 - x^2) + x^3 / √(1 - x^2)] / (1 - x^2)
דרך הפתרון
פתרון חישוב נגזרת פונקציית מנה עם שורש
חקירת פונקציה מסוג f(x) = x² חלקי שורש (1 - x²)
מפת פתרון
- מטרה
למצוא הנגזרת f'(x) של הפונקציה
- נתון 1
נתון 1
f(x) = x² / √(1 - x²) - רעיון
הרעיון המרכזי
פירוק הפונקציה לחלקי מונה ומכנה, חישוב נגזרות נפרדות, ושימוש בנוסחה לנגזרת פונקציית מנה.
- נוסחה
החלף בנוסחה (f'*g - f*g') / g².
(f' * g - f * g') / (g ^ 2)(f' * g - f * g') / g^2(f' g - f g')/(g^2) - משוואה
הכנס את הערכים לחישוב הפונקציה ופשט את הנגזרת.
הכנס את הערכים לחישוב הפונקציה ופשט את הנגזרת.
- פישוט
הפשט את המונה והשתמש במכנה בריבוע לפישוט הסופי.
הפשט את המונה והשתמש במכנה בריבוע לפישוט הסופי.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
הגדירו f = x² ו-g = √(1 - x²).
- בדיקה
בדיקה קצרה
- האם הפרדת את הפונקציה ל-f ו-g?
- חשב את הנגזרות של f ו-g בנפרד?
- זהירות: שכחת את נגזרת הפונקציה הפנימית בשורש.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת f ו-g
זיהוי נתונים
הגדרת f ו-g
מה עושים
הגדירו f = x² ו-g = √(1 - x²).
למה
כדי להשתמש בנוסחה לנגזרת מנה יש לפרק את הפונקציה לשני חלקים.
הפונקציה היא מנה של שני איברים f מעל g.
זהו צעד הכרחי לפישוט חישוב הנגזרת.
2בחירת שיטה
חשב נגזרות של כל אחד
בחירת שיטה
חשב נגזרות של כל אחד
מה עושים
חשב את f' ו-g'.
למה
צריך את נגזרות המונה והמכנה לפי חוקי הגזירה.
נגזרת מונה: f' = 2x. נגזרת מכנה: g' = נגזרת של שורש 1 - x².
בשורש השתמש בנגזרת פנימית.
3בניית משוואה
כתוב נוסחת נגזרת מנה
בניית משוואה
כתוב נוסחת נגזרת מנה
מה עושים
החלף בנוסחה (f'*g - f*g') / g².
למה
זו הנוסחה הרלוונטית לגזירת פונקציית מנה.
שימוש בנוסחה הרגילה לנגזרת מנה עם f ו-g ועם נגזרותיהם.
נוסחה / הצבה
(f' * g - f * g') / (g ^ 2)(f' * g - f * g') / g^2(f' g - f g')/(g^2)זהו השלב בו משלבים את כל החלקים.
4פתרון
הכנס ביטויים לנוסחה ופשט
פתרון
הכנס ביטויים לנוסחה ופשט
מה עושים
הכנס את הערכים לחישוב הפונקציה ופשט את הנגזרת.
למה
כדי לקבל נוסחה מפושטת וברורה לנגזרת.
הכנס f= x^2, f' = 2x, g = שורש(1 - x^2), g' = -x / שורש(1 - x^2) לנוסחה ופשט.
שימו לב לדיוק בפישוט הביטוי.
5פתרון
קבל נוסחה סופית לנגזרת
פתרון
קבל נוסחה סופית לנגזרת
מה עושים
הפשט את המונה והשתמש במכנה בריבוע לפישוט הסופי.
למה
לשפר את הנראות וההבנה של הנגזרת.
הפוך את המונה לצירוף פשוט יותר ושמור על מכנה (1 - x^2).
עבודה עם שורש כפול עצמו מורידה אותו מהשורש.
פתרונות כלליים
- חישוב נגזרת פונקציית מנה פשוטה: נגדיר f = x^2, g = √(1 - x^2) נגזרות: f' = 2x, g' = -x / √(1 - x^2) לכן הנגזרת היא: f' = (2x * √(1 - x^2) - x^2 * (-x / √(1 - x^2))) / (√(1 - x^2))^2 פשטול הביטוי ומכנים מובילים ל: f' = [2x√(1 - x^2) + x^3 / √(1 - x^2)] / (1 - x^2)