וידאו · חקירה מלאה של פונקציה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ב1. חקירת פונקצית מנה עם שורש
ב2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך
ג1. חקירת פונקצית מנה מציאת פרמטרים
ג2. חקירת פונקצית מנה תחום הגדרה אסימפטוטות חיתוך עם הצירים
ג3. חקירת פונקצית מנה נקודות קיצון עליה וירידה
ג4. חקירת פונקצית מנה סעיפים מיוחדים חשוב ביותר
ד1. חקירת פונקצית מנה עם שורש
ד2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך
גזירת פונקציית מנה ופישוט הנגזרת
רמת קושי: קל
גזור ופשט את הנגזרת של הפונקציה y = (x^2 - 3x + 5) / (2x - 4).
רמז: השתמש בכלל המנה, גזור מונה ומכנה בנפרד, ופתח את הנוסחה.
תשובה סופית: f'(x) = (2x^2 - 10x + 12) / (2x - 4)^2
הנגזרת היא (2x - 4)*(2x - 3) פחות (x^2 - 3x + 5)*2 חלקי (2x - 4)^2. פשט את המונה והשג מבע 2x בריבוע מינוס 4x פחות 6x ועוד 12 חלקי המכנה בריבוע.
מציאת נקודות קיצון של פונקציה רציונלית
רמת קושי: בינוני
מצא את נקודות הקיצון של y = (x^2 - 3x + 5) / (2x - 4) באמצעות הנגזרת שמצאת.
רמז: פתור את המשוואה f'(x) = 0 ומיין נקודות לפי ערכי f'' או סימן הנגזרת משני הצדדים.
תשובה סופית: נקודות קיצון ב-x=1 (מינימום), x=3 (מקסימום)
פתרון המשוואה בוצע על ידי הצבת הנגזרת שווה לאפס, השורשים הם x=1 ו-x=3. באמצעות בדיקה בנגזרת מימין ומשמאל נקבע שה-x=1 הוא מינימום ו-x=3 הוא מקסימום.
קביעת תחומי עלייה וירידה
רמת קושי: מאתגר
קבע את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה y = (x^2 - 3x + 5) / (2x - 4) על סמך נקודות הקיצון שמצאת.
רמז: בדוק את סימן הנגזרת באזור לפני ואחרי כל נקודת קיצון.
תשובה סופית: עולה בין 1 ל-3, יורדת חוץ מזה
הפונקציה יורדת בתחומים (-∞, 1) ו-(3, ∞) ועולה בתחום (1, 3).
בחינת נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה
רמת קושי: בגרות
נתונה הפונקציה y = (x^2 - 3x + 5) / (2x - 4). מצא את נקודות הקיצון וקבע מתי הפונקציה עולה ומתי יורדת.
רמז: פשט את הנגזרת, פתר את המשוואה לשיוויון לאפס, ונתח את סימן הנגזרת בתחומים בין נקודות הקיצון.
תשובה סופית: נקודות קיצון: x=1 מינימום, x=3 מקסימום; עולה בין 1 ל-3, יורד בכל שאר התחומים.
גזרנו ופישטנו את הנגזרת כפי שמפורט, פתרנו את המשוואה f'(x)=0 וקיבלנו x=1 ו-x=3. בדיקה בנגזרת הראתה שהפונקציה עולה בין 1 ל-3 ויורדת מחוץ לתחום זה.
הצעד הראשון בחקירת פונקציה
פונקציה רציונלית y = (x^2 - 3x + 5) / (2x - 4)גזור את הפונקציה, פתר את המשוואה לנגזרת שווה לאפס, בדוק סימני נגזרת סביב נקודות אלו כדי לזהות
f'(x)= ((2x- 3) * (2x- 4)- 2 * (x^2פשט את המונה והציב אותו שווה לאפס
2x^2 - 10x + 12 = 0פתור 2x^2 - 10x + 12 = 0
x^2 - 5x + 6 = 0(x-2)(x-3) = 0בחר ערכים בנקודות שמסביב ל-2 ול-3
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
נתונה הפונקציה y = (x^2 - 3x + 5) / (2x - 4)
למה
יש לגזור את פונקציה זו כדי למצוא נקודות קיצון
הפונקציה מורכבת מחלק עם פולינומים במונה ובמכנה
בחירת שיטה
מה עושים
גזור את המונה והכנה לפי כלל המנה
למה
כיוון שמדובר בפונקציית מנה, כלל המנה הוא הכלי המתאים
f'(x) = (g'(x)*h(x) - g(x)*h'(x)) / h(x)^2
נוסחה / הצבה
f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2f'(x) = (g'(x) h(x) - g(x) h'(x))/((h(x))^2)זכור לגזור כל חלק בנפרד
בניית משוואה
מה עושים
הציב את הנגזרת של כל חלק במשוואה
למה
כך נקבל ביטוי לנגזרת לפני הפישוט
f'(x) = ((2x - 3)*(2x - 4) - (x^2 - 3x + 5)*2) / (2x - 4)^2
נוסחה / הצבה
f'(x)= ((2x- 3) * (2x- 4)- 2 * (x^2חשוב לשמור על סדר פעולות נכון
פתרון
מה עושים
פשט את המונה והציב אותו שווה לאפס
למה
שוויון הנגזרת לאפס מאפשר למצוא נקודות קיצון
פישוט המונה ל- 2x^2 - 10x + 12 = 0
נוסחה / הצבה
2x^2 - 10x + 12 = 0פישט היטב את הביטוי במונה
פתרון
מה עושים
פתור 2x^2 - 10x + 12 = 0
למה
שורשים אלו הם ערכי x של נקודות קיצון
قسّم ב-2 וקבל x^2 - 5x + 6 = 0. פתרונות: x=2, x=3
נוסחה / הצבה
x^2 - 5x + 6 = 0(x-2)(x-3) = 0x=2 או x=3ניתן לפתור בפקטוריזציה פשוטה
פתרון
מה עושים
בחר ערכים בנקודות שמסביב ל-2 ול-3
למה
זיהוי סימן נגזרת מראה האם הפונקציה עולה או יורדת
עולה בין 2 ל-3, יורדת מחוץ לתחום זה
שימוש בסימן הנגזרת הוא המפתח לקביעת תחומים