MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · חקירה מלאה של פונקציה

ב2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
וידאו

א1. חקירת פונקצית מנה מציאת פרמטרים תחום הגדרה אסימפטוטות חיתוך עם הצירים

וידאו

א2. חקירת פונקצית מנה נקודות קיצון עליה וירידה

וידאו

א3. חקירת פונקצית מנה סעיפים מיוחדים חשוב ביותר

וידאו

ב1. חקירת פונקצית מנה עם שורש

וידאו

ב2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך

וידאו

ג1. חקירת פונקצית מנה מציאת פרמטרים

וידאו

ג2. חקירת פונקצית מנה תחום הגדרה אסימפטוטות חיתוך עם הצירים

וידאו

ג3. חקירת פונקצית מנה נקודות קיצון עליה וירידה

וידאו

ג4. חקירת פונקצית מנה סעיפים מיוחדים חשוב ביותר

וידאו

ד1. חקירת פונקצית מנה עם שורש

וידאו

ד2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך

סיכום שיעור

  • במסגרת שיעור זה נלמד חקירה מלאה של פונקצית מנה המכילה שורש, כולל חיתוך עם הצירים, חישוב נקודות קיצון באמצעות גזירת פונקציות חלקיות, טיפול בשורשים ובמכנים והתמודדות עם תחום ההגדרה.
  • להבין כיצד לקבוע חיתוכים עם צירי x ו-y בפונקציות עם שורש.
  • ליישם חקירת פונקציה על פונקצית מנה המכילה שורש.
  • לחשב נגזרת של פונקציה בצורה נכונה באמצעות כלל המנה וחוקי הגזירה לשורשים.
  • לזהות תחומי הגדרה ונקודות אי-רציפות בפונקציות עם שורשים.
  • לנתח עליות וירידות של פונקציה באמצעות בדיקת סימן נגזרת.
  • חיתוך עם הצירים: אין חיתוך עם ציר y כי הפונקציה לא מוגדרת ב-x=0. חיתוך עם ציר x מתקיימים כאשר y=0, אך במקרה זה אין חיתוך כי המכנה לא מאפשר זאת.
  • גזירת פונקציה עם שורש ומנה: כדי לגזור פונקציה המשלבת שורש ומנה, מפרידים את הפונקציה לגורמים f ו-g, מחשבים את הנגזרות שלהם, ומיישמים את כלל המנה. לאחר מכן מפשטים והעלים שורשים בזהירות.
  • ניתוח נקודות קיצון ותחום הגדרה: אלמנט עיקרי הוא לבדוק תחום הגדרה, נקודות אי-רציפות וקיצון. לאחר גזירת הפונקציה ובדיקת סימני הנגזרת באזורי התחום, ניתן להסיק על עליות וירידות והמצאות נקודות קיצון.

תרגול קצר

מוצא נקודת חיתוך עם הצירים

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה \( f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x} \). מצא את נקודות החיתוך עם ציר ה-x וציר ה-y.

חיתוך_עם_ציריםפונקציותשורשמנה

רמז: בדוק תחום הגדרה לפני חישוב החיתוכים. חיתוך עם ציר y מתקבל כאשר x=0, חיתוך עם ציר x מתקבל כאשר y=0.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות חיתוך עם ציר x: (2,0),(−2,0), אין חיתוך עם ציר y.

ראשית, תחום ההגדרה אינו כולל את x=0 (המכנה 0), ולכן אין חיתוך עם ציר y. לחיתוך עם ציר x נשים את הפונקציה שווה 0, כלומר המונה חייב להיות 0: sqrt(x^2 - 4) = 0 => x^2 -4=0 => x= +2 או x= -2. בדוק האם x= ±2 בתחום ההגדרה והפונקציה מוגדרת שם (המכנה אינו 0). x=2 ו-x=-2 תקינים. לכן נקודות החיתוך הן (2,0) ו(-2,0).

גזירת פונקציה עם שורש ומנה

רמת קושי: בינוני

ממתין

גזור את הפונקציה \( f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x} \) ושמור את התוצאה בפישוט מתאים.

נגזרתפונקציותשורשמנה

רמז: הגדר את המונה f = שורש(x^2 - 4) והמכנה g = x, חשב f' ו-g', והשתמש בכלל המנה.

פתרון מלא

תשובה סופית: f'(x) = 4 / (x^2 * sqrt(x^2 -4))

f(x) = sqrt(x^2 - 4) / x f = sqrt(x^2 -4), g = x f' = (1/2)(x^2 -4)^{-1/2} * 2x = x / sqrt(x^2 -4) g' = 1 נוסחת הנגזרת: (f' g - f g') / g^2 = (x / sqrt(x^2 -4) * x - sqrt(x^2 -4) * 1) / x^2 = (x^2 / sqrt(x^2 -4) - sqrt(x^2 -4)) / x^2 = (x^2 - (x^2 - 4)) / (x^2 * sqrt(x^2 -4)) = 4 / (x^2 * sqrt(x^2 -4))

ניתוח נקודות קיצון באמצעות נגזרת שניה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

עבור הפונקציה \( f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x} \), חשב את הנגזרת השנייה ונתח את נקודות הקיצון שזוהו בניתוחים הקודמים.

נגזרת שניהפונקציותקיצוןחורששורש

רמז: השתמש בתוצאה של הנגזרת הראשונה, גזור פעם נוספת בזהירות תוך שמירת תחום ההגדרה ונקודות אי הרציפות.

פתרון מלא

תשובה סופית: (פיתרון מפורט דורש חישוב מיוחד; יש להמשיך לפי כלל השרשרת ודיוק בפישוט)

f'(x) = 4/(x^2 * sqrt(x^2 -4)) גזירת הנגזרת מצריכה שימוש בכלל המנה וחוקי הגזירה לשורש. מומלץ לבצע את החלוקה לשרשרת ולחשב בזהירות, תוך שמירת תחום הגדרה. כתוצאה הנגזרת השנייה תבהיר האם הנקודות שנמצאו הן מקסימום, מינימום או נקודות אשף.

בחינת נקודות קיצון והמשמעות

רמת קושי: בגרות

ממתין

בהינתן הפונקציה \( f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x} \), אחרי חישובי נגזרת נמצא כי \( x=-4 \) היא נקודת קיצון. הסבר מדוע נקודה זו הגיונית בהקשר תחום ההגדרה ומה משמעותה בהתנהגות הפונקציה.

נקודת קיצוןתחום הגדרהפונקציותניתוח

רמז: בדוק תחום הגדרה וסימני נגזרת משני צדי הנקודה כדי לקבוע עלייה וירידה.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = -4 היא נקודת מקסימום מקומי, בהתאם לניתוח עלייה וירידה בפונקציה בתחומה.

x = -4 נמצא בתחום ההגדרה (x^2 -4 >=0 ו-x !=0). נבחן סימני הנגזרת בקטעים סביב x = -4: - באזור פחות מ- -4, נגזרת חיובית (פונקציה עולה). - באזור בין -4 ל- -2, נגזרת שלילית (פונקציה יורדת). לכן x = -4 היא נקודת מקסימום מקומי. נקודה זו אומרת שהפונקציה מגיעה לערך מקסימלי מקומי באזור זה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת פונקציית מנה עם שורש

מדריך לפתרון ותהליך חקירת הפונקציה \( f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x} \)

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא נקודות חיתוך עם ציר x ו-y / נגזרת ראשונה של הפונקציה / נקודות קיצון וניתוח עליה

  2. נתון 1

    נתון 1

    פונקציה f(x) = שורש של x בריבוע פחות 4 חלקי x
  3. נתון 2

    נתון 2

    תחום ההגדרה: x^2 - 4 >= 0 ו-x ≠ 0
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נבדוק תחום הגדרה ראשונית, נקודות חיתוך על ידי שוויון לפסא, נחשב את הנגזרת לפי כלל המנה המותאם

  5. נוסחה

    נכתוב ייצוג מתמטי

  6. משוואה

    נבדוק אם הפונקציה מוגדרת ב-x=0

    נבדוק אם הפונקציה מוגדרת ב-x=0

  7. פישוט

    פשט את הביטוי כדי לקבל נוסחה פשוטה

    פשט את הביטוי כדי לקבל נוסחה פשוטה

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    השווה נגזרת לאפס ונתח סימנים בסביבת נקודות אלה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

בדיקת תחום ההגדרה

מה עושים

נבדוק איפה הפונקציה מוגדרת מבחינת שורש ומכנה

למה

קביעת תחום ההגדרה מונעת טעויות בחישובים הבאים

תחום ההגדרה הוא x כך ש-x בריבוע פחות 4 >= 0 ולכן x <= -2 או x >= 2, ו-x ≠ 0

שימו לב שלא לכל x הפונקציה מוגדרת.

2

בניית משוואה

חיתוך עם ציר y

מה עושים

נבדוק אם הפונקציה מוגדרת ב-x=0

למה

נקודת חיתוך עם ציר y מתקבלת ב-x=0

x=0 לא בתחום ההגדרה בגלל מחלק, לכן אין חיתוך עם ציר y

הכי פשוטי לבדוק תחום ההגדרה תחילה.

3

בניית משוואה

חיתוך עם ציר x

מה עושים

נשלב y=0 ונמצא עבור אילו x המונה אפס

למה

נקודת חיתוך עם ציר x כאשר פונקציה שווה ל-0

שורש x^2 -4 = 0 ⇨ x^2=4 ⇨ x=±2, שניהם בתחום ההגדרה ולכן נקודות החיתוך הן (2,0) ו(-2,0)

בדקו תמיד שהנקודה נמצאת בתחום ההגדרה.

4

בחירת שיטה

חשב נגזרת לפי כלל המנה

מה עושים

הגדר f = שורש(x^2 - 4), g = x, חשב נגזרות f' ו-g'

למה

חשוב כדי לאפשר מציאת נקודות קיצון

f' = x / שורש(x^2 - 4), g' = 1, נגזרת לפי כלל המנה: (f' g - f g') / g^2

נוסחה / הצבה

(x / sqrt(x^2 -4) * x - sqrt(x^2 -4) * 1) / x^2(f' * g - f * g') / (g^2)(f' * g - f * g')/(g^2)

אל תשכחו לשים לב לתחום ההגדרה תמיד.

5

פתרון

פישוט הנגזרת

מה עושים

פשט את הביטוי כדי לקבל נוסחה פשוטה

למה

פישוט עוזר לזיהוי נקודות קריטיות במהירות

f'(x) = 4 / (x^2 * sqrt(x^2 -4))

בדקו שכל שלב מתייחס לתחום ההגדרה.

6

פתרון

מצא נקודות קיצון והבן את משמעותן

מה עושים

השווה נגזרת לאפס ונתח סימנים בסביבת נקודות אלה

למה

לזהות נקודות מקסימום ומינימום

בהינתן f'(x) חיובי בכל תחום התוחם את תחום ההגדרה מלבד גבולות, ניתן להסיק על התנהגות הפונקציה, לדוגמה x=-4 נקודת מקסימום

הקפידו על בקרה וסדר בציורים.

פתרונות כלליים

  • מוצא נקודת חיתוך עם הצירים: ראשית, תחום ההגדרה אינו כולל את x=0 (המכנה 0), ולכן אין חיתוך עם ציר y. לחיתוך עם ציר x נשים את הפונקציה שווה 0, כלומר המונה חייב להיות 0: sqrt(x^2 - 4) = 0 => x^2 -4=0 => x= +2 או x= -2. בדוק האם x= ±2 בתחום ההגדרה והפונקציה מוגדרת שם (המכנה אינו 0). x=2 ו-x=-2 תקינים. לכן נקודות החיתוך הן (2,0) ו(-2,0).
  • גזירת פונקציה עם שורש ומנה: f(x) = sqrt(x^2 - 4) / x f = sqrt(x^2 -4), g = x f' = (1/2)(x^2 -4)^{-1/2} * 2x = x / sqrt(x^2 -4) g' = 1 נוסחת הנגזרת: (f' g - f g') / g^2 = (x / sqrt(x^2 -4) * x - sqrt(x^2 -4) * 1) / x^2 = (x^2 / sqrt(x^2 -4) - sqrt(x^2 -4)) / x^2 = (x^2 - (x^2 - 4)) / (x^2 * sqrt(x^2 -4)) = 4 / (x^2 * sqrt(x^2 -4))
  • ניתוח נקודות קיצון באמצעות נגזרת שניה: f'(x) = 4/(x^2 * sqrt(x^2 -4)) גזירת הנגזרת מצריכה שימוש בכלל המנה וחוקי הגזירה לשורש. מומלץ לבצע את החלוקה לשרשרת ולחשב בזהירות, תוך שמירת תחום הגדרה. כתוצאה הנגזרת השנייה תבהיר האם הנקודות שנמצאו הן מקסימום, מינימום או נקודות אשף.
  • בחינת נקודות קיצון והמשמעות: x = -4 נמצא בתחום ההגדרה (x^2 -4 >=0 ו-x !=0). נבחן סימני הנגזרת בקטעים סביב x = -4: - באזור פחות מ- -4, נגזרת חיובית (פונקציה עולה). - באזור בין -4 ל- -2, נגזרת שלילית (פונקציה יורדת). לכן x = -4 היא נקודת מקסימום מקומי. נקודה זו אומרת שהפונקציה מגיעה לערך מקסימלי מקומי באזור זה.
הפריט הקודםהפריט הבא