MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · חקירה מלאה של פונקציה

ג2. חקירת פונקצית מנה תחום הגדרה אסימפטוטות חיתוך עם הצירים

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
2 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א3. חקירת פונקצית מנה סעיפים מיוחדים חשוב ביותר

וידאו

ב1. חקירת פונקצית מנה עם שורש

וידאו

ב2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך

וידאו

ג1. חקירת פונקצית מנה מציאת פרמטרים

וידאו

ג2. חקירת פונקצית מנה תחום הגדרה אסימפטוטות חיתוך עם הצירים

וידאו

ג3. חקירת פונקצית מנה נקודות קיצון עליה וירידה

וידאו

ג4. חקירת פונקצית מנה סעיפים מיוחדים חשוב ביותר

וידאו

ד1. חקירת פונקצית מנה עם שורש

וידאו

ד2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך

סיכום שיעור

  • בשיעור דנו בחקירת פונקציה רציונלית, בדגש על מציאת תחום ההגדרה, זיהוי אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, ונקודות חיתוך עם צירי x ו-y. נלמד כיצד לבצע הצבות נקודתיות במחשבון כדי להבין את התנהגות הפונקציה סביב נקודות הקריטיות והאסימפטוטות.
  • להבין כיצד לחשב תחום הגדרה של פונקציה רציונלית
  • למצוא ולנמק אסימפטוטות אנכיות ואופקיות
  • לחשב נקודות חיתוך עם ציר ה-x וציר ה-y
  • להשתמש במחשבונים להצבת ערכים קריטיים להבנת התנהגות הפונקציה
  • תחום הגדרה ואסימפטוטות אנכיות: זיהוי נקודות שבהן הפונקציה אינה מוגדרת, והגדרת אסימפטוטות אנכיות סביבן.
  • אסימפטוטות אופקיות: זיהוי האסימפטוטות האופקיות על פי החזקות של המונה והמכנה.
  • חיתוך עם צירי x ו-y: חישוב נקודות החיתוך על ידי הצבה מתאימה של x ו-y במטרה למצוא נקודות היעד.

תרגול קצר

זיהוי תחום הגדרה ואסימפטוטות

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = (x² - x - 5) / (x - 1)(x - 5). מצא את תחום ההגדרה וזיהה את האסימפטוטות האנכיות.

תחום הגדרהאסימפטוטות אנכיות

רמז: הפונקציה לא מוגדרת כאשר המכנה שווה לאפס. בדוק נקודות אלו הן האסימפטוטות האנכיות.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה: כל x שונה מ-1 ו-5; אסימפטוטות אנכיות ב-x=1 ו-x=5.

תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-x=1 ו-x=5. באותן נקודות קיימות אסימפטוטות אנכיות.

נימוק אסימפטוטה אופקית

רמת קושי: בינוני

ממתין

לפי הפונקציה הנתונה, נמק את קיומה של אסימפטוטה אופקית וציין את המשוואה שלה.

אסימפטוטות אופקיותנימוקים

רמז: בדוק את דרגות הפולינומים במונה ובמכנה והשווה ביניהם.

פתרון מלא

תשובה סופית: אסימפטוטה אופקית: y=1

דרגת המונה היא 2, דרגת המכנה היא 2 (מתוך מכפלה של שני פולינומים מדרגה 1). יחס המקדמים במעלה השנייה הוא 1/1 ולכן הפונקציה שואפת ל-y=1 כאשר x שואף לאינסוף.

חישוב חיתוך עם צירי x ו-y

רמת קושי: מאתגר

ממתין

מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה f(x) עם צירי x ו-y.

חיתוכיםפונקציה רציונלית

רמז: חיתוך עם ציר y: הצב x=0; חיתוך עם ציר x: פתר y=0 וצא מהמשוואה.

פתרון מלא

תשובה סופית: חיתוך עם ציר y: f(0); חיתוך עם ציר x: פתרון המונה שווה לאפס, תוך בדיקת שאין בעיות במכנה.

הצבת x=0 ב-f(x) תיתן את נקודת החיתוך עם ציר y. חיתוך עם ציר x דורש פתרון המשוואה f(x)=0, כלומר חיבור המונה לאפס.

חקירת פונקציה: תחום ואסימפטוטות

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה פונקציה רציונלית f(x) = (x² - x - 5) / ((x-1)(x-5)). בצע חקירת פונקציה מלאה: תחום הגדרה, מצא את האסימפטוטות האנכיות והאופקיות, וחישב את נקודות החיתוך עם הצירים.

חקירת פונקציהאסימפטוטותתחוםחיתוך עם הצירים

רמז: התחום הוא כל x פרט ל-1 ו-5. אסימפטוטות אנכיות בנקודות אלה. אסימפטוטה אופקית לפי דרגות המונה והמכנה. חיתוך עם הצירים לפי הצבה בפונקציה.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום: x שונה מ-1 ו-5. אסימפטוטות אנכיות ב-1 ו-5. אסימפטוטה אופקית y=0. נקודות חיתוך בהתאם.

תחום: כל x מבלי 1,5. אסימפטוטות אנכיות ב-x=1 וב-x=5. אסימפטוטה אופקית y=0 כי דרגת המכנה גדולה מהמונה (יש לבדוק לפי שבר הפונקציה). נקודות חיתוך: עם y כאשר x=0, עם x עבור פתרון המונה=0 במקומות where פונקציה מוגדרת.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת פונקציה רציונלית - זיהוי אסימפטוטות ותחום

מפה לפתרון תרגיל על פונקצית מנה

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא תחום הגדרה / אסימפטוטות אנכיות / אסימפטוטות אופקיות

  2. נתון 1

    נתון 1

    פונקציה רציונלית f(x) = (x² - x - 5) / ((x - 1)(x - 5))
  3. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נזהה איפה המכנה שווה לאפס ונדגים התנהגות קרובה, ואז נשווה דרגות פולינומים לאסימפטוטה אופקית.

  4. נוסחה

    משווים דרגות של המונה והמכנה ובודקים יחס המקדמים המוביל

    dr=degreeif dr(mona) == dr(mechane):asymptote y= leading coefficient mona / leading coefficient mechane
  5. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  6. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

  7. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    תחום ההגדרה: כל x שונה מ-1 ו-5; אסימפטוטות אנכיות ב-1 ו-5; אסימפטוטה אופקית y=1

  8. בדיקה

    בדיקה קצרה

    • האם זוהה נכון תחום ההגדרה?
    • האם בוצעו הצבות נכונות לסביבת הנקודות האסימפטוטיות?
    • זהירות: שכחה לכלול את כל נקודות האי-הגדרה בתחומי ההגדרה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הכרת הנתון

מה עושים

הפונקציה נתונה כיחס של שני פולינומים

למה

לזהות איפה הפונקציה עשויה להיות לא מוגדרת

הפונקציה היא מנה של (x² - x - 5) חלקי (x - 1)(x - 5)

2

בחירת שיטה

מציאת תחום ההגדרה

מה עושים

למצוא איפה המכנה שווה לאפס ולשלול נקודות אלה מהתחום

למה

נקודות אלו גורמות להגדלת ערכי הפונקציה לאינסוף ומייצרות אסימפטוטות אנכיות

נציב: (x - 1)(x - 5) = 0 לכן x=1, x=5 אסור ב-domain

נוסחה / הצבה

x - 1 = 0x = 1x - 5 = 0x = 5

נקודות שבהן המכנה מתאפס לא שייכות לתחום ההגדרה

3

בחירת שיטה

זיהוי אסימפטוטות אנכיות

מה עושים

נבדוק את ערכי הפונקציה כאשר x שואף ל-1 ול-5 ממעלה ומטה

למה

הפונקציה שואפת לאינסוף או מינוס אינסוף סביב נקודות אלו, דבר המגדיר אסימפטוטות אנכיות

מבצעים הצבות קרובות בנקודות 1 ו-5 כדי לקבוע התכנסות בהתאם

השתמש במחשבון להצבת ערכים קרובים סביב הנקודות

4

בחירת שיטה

קביעת אסימפטוטה אופקית

מה עושים

משווים דרגות של המונה והמכנה ובודקים יחס המקדמים המוביל

למה

כשהדרגה של המונה שווה לדרגה של המכנה, הפונקציה שואפת ליחס המקדמים

דרגת המונה היא 2 דרגת המכנה היא 2 היחס 1/1=1

נוסחה / הצבה

dr=degreeif dr(mona) == dr(mechane):asymptote y= leading coefficient mona / leading coefficient mechane

אסימפטוטה אופקית תהיה y=1

5

תשובה

סיכום התוצאה

מה עושים

תחום ההגדרה: כל x שונה מ-1 ו-5; אסימפטוטות אנכיות ב-1 ו-5; אסימפטוטה אופקית y=1

למה

כל המצאות אלו נובעות מהנימוקים הקודמים בתהליך

מסכמים את המסקנות בנקודות מפתח

פתרונות כלליים

  • זיהוי תחום הגדרה ואסימפטוטות: תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-x=1 ו-x=5. באותן נקודות קיימות אסימפטוטות אנכיות.
  • נימוק אסימפטוטה אופקית: דרגת המונה היא 2, דרגת המכנה היא 2 (מתוך מכפלה של שני פולינומים מדרגה 1). יחס המקדמים במעלה השנייה הוא 1/1 ולכן הפונקציה שואפת ל-y=1 כאשר x שואף לאינסוף.
  • חישוב חיתוך עם צירי x ו-y: הצבת x=0 ב-f(x) תיתן את נקודת החיתוך עם ציר y. חיתוך עם ציר x דורש פתרון המשוואה f(x)=0, כלומר חיבור המונה לאפס.
  • חקירת פונקציה: תחום ואסימפטוטות: תחום: כל x מבלי 1,5. אסימפטוטות אנכיות ב-x=1 וב-x=5. אסימפטוטה אופקית y=0 כי דרגת המכנה גדולה מהמונה (יש לבדוק לפי שבר הפונקציה). נקודות חיתוך: עם y כאשר x=0, עם x עבור פתרון המונה=0 במקומות where פונקציה מוגדרת.
הפריט הקודםהפריט הבא