וידאו · חקירה מלאה של פונקציה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ב2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך
ג1. חקירת פונקצית מנה מציאת פרמטרים
ג2. חקירת פונקצית מנה תחום הגדרה אסימפטוטות חיתוך עם הצירים
ג3. חקירת פונקצית מנה נקודות קיצון עליה וירידה
ג4. חקירת פונקצית מנה סעיפים מיוחדים חשוב ביותר
ד1. חקירת פונקצית מנה עם שורש
ד2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך
קביעת ערכי m עבור הישר y=m שלא חותך גרף פונקציה
רמת קושי: קל
נתון גרף פונקציה f. מצא את ערכי m כך שהישר y=m לא יחתוך את גרף הפונקציה.
רמז: הישר y=m מייצג קו אופקי. מצא את תחום ה-y של גרף הפונקציה וערכים מחוץ לתחום זה מתאימים.
תשובה סופית: m קטן מ-y מינימום או m גדול מ-y מקסימום של הפונקציה.
יש לבדוק את ערכי ה-y של נקודות הקיצון בגרף הפונקציה. ערכי m מחוץ לטווח ה-y בין נקודות הקיצון יגרמו לכך שהישר לא יחתוך את הפונקציה.
מציאת נקודות הקיצון והאסימפטוטה האופקית של g(x)=f(x)+2
רמת קושי: בינוני
נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + 2, כאשר ידועים נקודות הקיצון של f(x) ושהפונקציה f(x) בעלת אסימפטוטה אופקית y=0. מצא את נקודות הקיצון והאסימפטוטה האופקית של g(x).
רמז: הוספת +2 לפונקציה מזיזה את כל הערכים ב-2 יחידות כלפי מעלה.
תשובה סופית: נקודות הקיצון של g(x): (x_i, y_i + 2), האסימפטוטה האופקית y=2.
נקודות הקיצון של g(x) הן באותם ערכי x כמו של f(x), אך ערכי ה-y גדלים ב-2 ביחידות. האסימפטוטה האופקית מזזה מ-y=0 ל-y=2.
שרטוט גרף הנגזרת וניתוח תופעות במכנה ומונה
רמת קושי: מאתגר
נתונה פונקציית מנה עם נגזרת \(f' = \frac{P(x)}{Q(x)}\). כיצד לשרטט את גרף הנגזרת תוך התייחסות לתחום ההגדרה, נקודות איפוס, והתנהגות לפי סימני הנגזרת?
רמז: תחום ההגדרה של הנגזרת שווה לתחום ההגדרה של הפונקציה המקורית כאשר המכנה לא שונה.
תשובה סופית: גרף הנגזרת מציג שינויים במחזורי עליה וירידה לפי סימני הנגזרת, עם אי רציפויות בנקודות חילוק במכנה.
1. שרטט את תחום ההגדרה כפי שמוגדר על ידי המכנה (נקודות בהן Q(x)=0 הן אי רציפות). 2. מצא נקודות איפוס של הנגזרת (כאשר המונה P(x)=0). 3. ערוך טבלת סימנים (אוגנים) לפי התחום והרווחים בין נקודות האפס והאי רציפות. 4. נתח את התנהגות גרף הנגזרת לפי החיובי והשלילי של הנגזרת.
הבנת התקיימות לא חתך בין ישר אופקי לגרף
הישר y=m - קו אופקי כללילהשוות את m לערכי ה-y של נקודות הקיצון ולהשתמש בעקרון טופולוגי ליחס ישר-גרף
m < y_minאוm > y_maxמציבים את הנתונים במשוואה.
בודקים את טווח הערכים של y_min ו-y_max בגרף כדי לקבוע בדיוק את תחום m
מזהים את ערכי ה-y בנקודות הקיצון של הפונקציה
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
נגדיר את רצון למצוא m כך שהישר y=m לא חותך את גרף הפונקציה f
למה
נרצה להבין באיזה תחום ערכי m הישר נשאר מעל או מתחת לגרף בלבד
בבעיה יש פונקציה וצריך לבחון מתי ישר אופקי יימצא מחוץ לטווח ערכי הפונקציה
זיהוי נתונים
מה עושים
מזהים את ערכי ה-y בנקודות הקיצון של הפונקציה
למה
כי ערכי קיצון הם נקודות מקסימום ומינימום - גבולות התחום של y
נבדוק את ערכי y בנקודות Minnimun וMaximum של הפונקציה f
בחירת שיטה
מה עושים
קובעים שערכי m שאינם בין y_min ל-y_max הם אלה שהישר לא יחתוך את הפונקציה
למה
כי הפונקציה לא מגיעה לערכים מחוץ לתחום זה, אם כן הישר מחוץ לתחום לא יחתוך
m < y_min או m > y_max כאלה שייכים למצב בו הישר מונח מתחת לכל גרף או מעליו
בניית משוואה
מה עושים
מנסחים את התנאי במישור הערכים: m < y_min או m > y_max
למה
תנאי זה מאמן את ההבנה איך לייצג תחום ערכים שאינו בתוך התחום
אי-השוויון מציג מתי הישר y=m לא נוגע לגרף
נוסחה / הצבה
m < y_minאוm > y_maxפתרון
מה עושים
בודקים את טווח הערכים של y_min ו-y_max בגרף כדי לקבוע בדיוק את תחום m
למה
על מנת להיות בטוחים שאיננו שוגים בטווח הערכים, יש לבחון הגבלות נוספות
הערכת תחום הערכים של הפונקציה מסייעת להקפיד על פתרון נכון
קחו זמן להסתכל על הגרף לפני שסוגרים את תחום הפתרון