וידאו · חקירה מלאה של פונקציה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ג1. חקירת פונקצית מנה מציאת פרמטרים
ג2. חקירת פונקצית מנה תחום הגדרה אסימפטוטות חיתוך עם הצירים
ג3. חקירת פונקצית מנה נקודות קיצון עליה וירידה
ג4. חקירת פונקצית מנה סעיפים מיוחדים חשוב ביותר
ד1. חקירת פונקצית מנה עם שורש
ד2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך
תחום ההגדרה של פונקציה עם שורש במכנה
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה f(x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x-2}. חשב את תחום ההגדרה של הפונקציה.
רמז: ראשית תנאי השורש – הביטוי תחת השורש חייב להיות לא שלילי, וכן המכנה לא חייב להיות אפס.
תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא (-∞,-1] ∪ [1,2) ∪ (2,∞).
תחום ההגדרה מיוצג על ידי התנאים: x^2 - 1 \geq 0 ו x \neq 2. אי-השוויון מתפרק לאזורים: x \leq -1 או x \geq 1. נשלול x=2 מהתחום. לכן תחום ההגדרה הוא (-\infty, -1] \cup [1,2) \cup (2,\infty).
סימפטוטות אנכיות ואופקיות בפונקציה עם שורש במכנה
רמת קושי: בינוני
נתונה הפונקציה f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 4}}. מצא את הסימפטוטות האנכיות והאופקיות של הפונקציה.
רמז: חשוב למצוא מתי המכנה מתקרב לאפס ולבחון גבולות באינסוף.
תשובה סופית: סימפטוטות אנכיות ב-x=2 וב-x=-2. אין סימפטוטות אופקיות.
תחום ההגדרה: x^2 - 4 > 0 ⇒ x > 2 או x < -2. סימפטוטות אנכיות: כשמכנה שואף ל-0 מ-x → 2^+, f(x) → ∞, וכן x → -2^-, f(x) → ∞. סימפטוטות אופקיות: גבולות באינסוף, נבחן f(x) כש-x → ∞: הפונקציה שואפת ל∞ כי המונה x² גדל מהר מאשר שורש x² -4. לכן אין סימפטוטות אופקיות.
חקירת התנהגות הפונקציה וסימטריות
רמת קושי: מאתגר
בחן את הסימטריה ואת התנהגות הפונקציה f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2}}.
רמז: הזכור שלשורש של x בריבוע יש ערך מוחלט.
תשובה סופית: הפונקציה מתנהגת כ-f(x)=x עבור x>0 ו-f(x)=-x עבור x<0, ללא סימטריה זוגית או אי זוגית.
שורש של x בריבוע = |x|. לכן הפונקציה היא f(x) = x^2/|x|. עבור x>0: |x|=x, ולכן f(x)=x. עבור x<0: |x|=-x, ולכן f(x)=-x. הפונקציה אינה זוגית ולא אי זוגית, ולכן אין סימטריה מרכזית או סימטריה ביחס לציר y.
חקר תחום ההגדרה וסימפטוטות של פונקציה עם שורש במכנה
רמת קושי: בגרות
נתונה הפונקציה f(x)= \frac{2x-3}{\sqrt{4 - x^2}}. א. נמצא את תחום ההגדרה. ב. נחשב את הסימפטוטות האנכיות של הפונקציה.
רמז: א. הביטוי מתחת לשורש חייב להיות חיובי. ב. הסימפטוטות הן המקרים שהמכנה שואף ל-0 בתחום ההגדרה.
תשובה סופית: א. תחום ההגדרה הוא ]-2, 2[. ב. סימפטוטות אנכיות ב-x=-2 וב-x=2.
א. 4 - x^2 > 0 ⇒ -2 < x < 2. תחום ההגדרה הוא ]-2, 2[. ב. סימפטוטות אנכיות הן ב-x=-2 ו-x=2 מכיוון שבנקודות אלו המכנה שואף לאפס והפונקציה אינה מוגדרת.
חישוב תחום ההגדרה לפונקציה f(x) = \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-2}
f(x) = √(x² - 1) / (x - 2)לזהות את כל התנאים על x שיבטיחו שהפונקציה מוגדרת: התנאים על השורש והמכנה ולשלב אותם.
x <= -1 או x >= 1ובנוסף x != 2לכתוב את תנאי השורש ותחום המכנה
x^2 - 1 >= 0x != 2מפשטים כדי להגיע לנעלם.
לסכם את התחום המתאים
(-∞, -1] ∪ [1, 2) ∪ (2, ∞)השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
לקרוא את הפונקציה הנתונה ולהבין את מרכיביה
למה
חשוב להבין שיש שורש במונה ושבר עם מכנה
f(x) = √(x² - 1) / (x - 2)
בחירת שיטה
מה עושים
הבנת אילו ערכים מותר לתת ל-x
למה
שורש צריך להיות מספר לא שלילי והמכנה לא יכול להיות אפס
√(x² - 1) מוגדר אם x² - 1 ≥ 0; אז x - 2 ≠ 0
תחילה לטפל בתנאי השורש, ואחר כך במכנה
בניית משוואה
מה עושים
לכתוב את תנאי השורש ותחום המכנה
למה
הכנה לפתרון אי-שוויון ולקביעת תחום
x² - 1 ≥ 0 x ≠ 2
נוסחה / הצבה
x^2 - 1 >= 0x != 2עלות ערכים קריטיים
פתרון
מה עושים
לפשט את אי-השוויון ולקבוע תחומי פתרון
למה
כדי למצוא את ערכי x שמקיימים את התנאים
x² - 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ -1 או x ≥ 1 ולכן תחום ההגדרה הוא כל x שעונה על התנאי וגם x≠2
נוסחה / הצבה
x <= -1 או x >= 1ובנוסף x != 2להיזהר מלכלול 2 כיוון שאסור במכנה
תשובה
מה עושים
לסכם את התחום המתאים
למה
להציג את הפתרון בצורה ברורה
תחום ההגדרה הוא \(-\infty, -1\]\cup [1, 2) \cup (2, +\infty)
נוסחה / הצבה
(-∞, -1] ∪ [1, 2) ∪ (2, ∞)תשובה סופית