MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · חקירה מלאה של פונקציה

ד1. חקירת פונקצית מנה עם שורש

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בחקירה מלאה של פונקציה עם ביטוי של שורש במכנה. נלמדים תחום ההגדרה, סימפטוטות אנכיות ואופקיות, והתנהגות הפונקציה בקרבת נקודות קריטיות. דגש על טיפול באי-שוויונות ריבועיים, ושימוש בכלים גרפיים וטכניים להבנת צורת הגרף ללא נגזרת.
  • להבין ולחשב את תחום ההגדרה של פונקציה עם שורש במכנה
  • לטפל באי-שוויון ריבועי כבסיס להבנת תחום ההגדרה
  • לזהות ולבחון סימפטוטות אנכיות ואופקיות של פונקציה נתונה
  • להבין התנהגות גרף הפונקציה בקרבת נקודות קריטיות וללא שימוש בנגזרת
  • לזהות טעויות נפוצות בחישוב ערך מוחלט של ביטוי בשורש ריבועי
  • תחום הגדרה ומשמעות: תחום ההגדרה של פונקציה עם שורש במכנה מחייב שהביטוי בתוך השורש יהיה חיובי, והמכנה שונה מאפס, מה שיוצר חקירה באמצעות אי-שוויון ריבועי וטיפול נוסף.
  • חישוב סימפטוטות: חישוב גבולות של הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף או לנקודות הקריטיות מאפשר זיהוי סימפטוטות אנכיות ואופקיות באמצעות ניתוח הגבולות ושימוש בשיטות כמו שיטת החזקות ושיטת הזניחים.
  • התנהגות גראפית וציפיות: ניסיון להסיק את צורת הפונקציה, נקודות קיצון, ותחומי עליה וירידה בהתבסס על תחום ההגדרה, סימפטוטות, וחישובים ללא נגזרת; הבנת כפילות וערך מוחלט בביטויים עם שורש ריבועי.

תרגול קצר

תחום ההגדרה של פונקציה עם שורש במכנה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x-2}. חשב את תחום ההגדרה של הפונקציה.

תחום_הגדרהשורשאי_שוויון

רמז: ראשית תנאי השורש – הביטוי תחת השורש חייב להיות לא שלילי, וכן המכנה לא חייב להיות אפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא (-∞,-1] ∪ [1,2) ∪ (2,∞).

תחום ההגדרה מיוצג על ידי התנאים: x^2 - 1 \geq 0 ו x \neq 2. אי-השוויון מתפרק לאזורים: x \leq -1 או x \geq 1. נשלול x=2 מהתחום. לכן תחום ההגדרה הוא (-\infty, -1] \cup [1,2) \cup (2,\infty).

סימפטוטות אנכיות ואופקיות בפונקציה עם שורש במכנה

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 4}}. מצא את הסימפטוטות האנכיות והאופקיות של הפונקציה.

סימפטוטותשורשגבולות

רמז: חשוב למצוא מתי המכנה מתקרב לאפס ולבחון גבולות באינסוף.

פתרון מלא

תשובה סופית: סימפטוטות אנכיות ב-x=2 וב-x=-2. אין סימפטוטות אופקיות.

תחום ההגדרה: x^2 - 4 > 0 ⇒ x > 2 או x < -2. סימפטוטות אנכיות: כשמכנה שואף ל-0 מ-x → 2^+, f(x) → ∞, וכן x → -2^-, f(x) → ∞. סימפטוטות אופקיות: גבולות באינסוף, נבחן f(x) כש-x → ∞: הפונקציה שואפת ל∞ כי המונה x² גדל מהר מאשר שורש x² -4. לכן אין סימפטוטות אופקיות.

חקירת התנהגות הפונקציה וסימטריות

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בחן את הסימטריה ואת התנהגות הפונקציה f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2}}.

סימטריהערך_מוחלטהתנהגות_פונקציה

רמז: הזכור שלשורש של x בריבוע יש ערך מוחלט.

פתרון מלא

תשובה סופית: הפונקציה מתנהגת כ-f(x)=x עבור x>0 ו-f(x)=-x עבור x<0, ללא סימטריה זוגית או אי זוגית.

שורש של x בריבוע = |x|. לכן הפונקציה היא f(x) = x^2/|x|. עבור x>0: |x|=x, ולכן f(x)=x. עבור x<0: |x|=-x, ולכן f(x)=-x. הפונקציה אינה זוגית ולא אי זוגית, ולכן אין סימטריה מרכזית או סימטריה ביחס לציר y.

חקר תחום ההגדרה וסימפטוטות של פונקציה עם שורש במכנה

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה f(x)= \frac{2x-3}{\sqrt{4 - x^2}}. א. נמצא את תחום ההגדרה. ב. נחשב את הסימפטוטות האנכיות של הפונקציה.

תחום_הגדרהסימפטוטותשורש

רמז: א. הביטוי מתחת לשורש חייב להיות חיובי. ב. הסימפטוטות הן המקרים שהמכנה שואף ל-0 בתחום ההגדרה.

פתרון מלא

תשובה סופית: א. תחום ההגדרה הוא ]-2, 2[. ב. סימפטוטות אנכיות ב-x=-2 וב-x=2.

א. 4 - x^2 > 0 ⇒ -2 < x < 2. תחום ההגדרה הוא ]-2, 2[. ב. סימפטוטות אנכיות הן ב-x=-2 ו-x=2 מכיוון שבנקודות אלו המכנה שואף לאפס והפונקציה אינה מוגדרת.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל - תחום ההגדרה של פונקציה עם שורש במכנה

חישוב תחום ההגדרה לפונקציה f(x) = \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-2}

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא תחום ההגדרה של f

  2. נתון 1

    נתון 1

    f(x) = √(x² - 1) / (x - 2)
  3. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לזהות את כל התנאים על x שיבטיחו שהפונקציה מוגדרת: התנאים על השורש והמכנה ולשלב אותם.

  4. נוסחה

    לפשט את אי-השוויון ולקבוע תחומי פתרון

    x <= -1 או x >= 1ובנוסף x != 2
  5. משוואה

    לכתוב את תנאי השורש ותחום המכנה

    לכתוב את תנאי השורש ותחום המכנה

    x^2 - 1 >= 0x != 2
  6. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

  7. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    לסכם את התחום המתאים

    (-∞, -1] ∪ [1, 2) ∪ (2, ∞)
  8. בדיקה

    בדיקה קצרה

    • האם הבנתי שמכנה לא יכול להיות 0?
    • האם זכור לי שמכפלה תחת שורש חייבת להיות לא שלילית?
    • זהירות: שכחה לכלול את האיסור עבור x=2 במכנה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הפונקציה הנתונה

מה עושים

לקרוא את הפונקציה הנתונה ולהבין את מרכיביה

למה

חשוב להבין שיש שורש במונה ושבר עם מכנה

f(x) = √(x² - 1) / (x - 2)

2

בחירת שיטה

תנאי קיום פונקציה עם שורש ומכנה

מה עושים

הבנת אילו ערכים מותר לתת ל-x

למה

שורש צריך להיות מספר לא שלילי והמכנה לא יכול להיות אפס

√(x² - 1) מוגדר אם x² - 1 ≥ 0; אז x - 2 ≠ 0

תחילה לטפל בתנאי השורש, ואחר כך במכנה

3

בניית משוואה

כתיבת אי-שוויונות ונקודות איסור

מה עושים

לכתוב את תנאי השורש ותחום המכנה

למה

הכנה לפתרון אי-שוויון ולקביעת תחום

x² - 1 ≥ 0 x ≠ 2

נוסחה / הצבה

x^2 - 1 >= 0x != 2

עלות ערכים קריטיים

4

פתרון

פתרון אי-השוויון הריבועי

מה עושים

לפשט את אי-השוויון ולקבוע תחומי פתרון

למה

כדי למצוא את ערכי x שמקיימים את התנאים

x² - 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ -1 או x ≥ 1 ולכן תחום ההגדרה הוא כל x שעונה על התנאי וגם x≠2

נוסחה / הצבה

x <= -1 או x >= 1ובנוסף x != 2

להיזהר מלכלול 2 כיוון שאסור במכנה

5

תשובה

תחום ההגדרה

מה עושים

לסכם את התחום המתאים

למה

להציג את הפתרון בצורה ברורה

תחום ההגדרה הוא \(-\infty, -1\]\cup [1, 2) \cup (2, +\infty)

נוסחה / הצבה

(-∞, -1] ∪ [1, 2) ∪ (2, ∞)

תשובה סופית

פתרונות כלליים

  • תחום ההגדרה של פונקציה עם שורש במכנה: תחום ההגדרה מיוצג על ידי התנאים: x^2 - 1 \geq 0 ו x \neq 2. אי-השוויון מתפרק לאזורים: x \leq -1 או x \geq 1. נשלול x=2 מהתחום. לכן תחום ההגדרה הוא (-\infty, -1] \cup [1,2) \cup (2,\infty).
  • סימפטוטות אנכיות ואופקיות בפונקציה עם שורש במכנה: תחום ההגדרה: x^2 - 4 > 0 ⇒ x > 2 או x < -2. סימפטוטות אנכיות: כשמכנה שואף ל-0 מ-x → 2^+, f(x) → ∞, וכן x → -2^-, f(x) → ∞. סימפטוטות אופקיות: גבולות באינסוף, נבחן f(x) כש-x → ∞: הפונקציה שואפת ל∞ כי המונה x² גדל מהר מאשר שורש x² -4. לכן אין סימפטוטות אופקיות.
  • חקירת התנהגות הפונקציה וסימטריות: שורש של x בריבוע = |x|. לכן הפונקציה היא f(x) = x^2/|x|. עבור x>0: |x|=x, ולכן f(x)=x. עבור x<0: |x|=-x, ולכן f(x)=-x. הפונקציה אינה זוגית ולא אי זוגית, ולכן אין סימטריה מרכזית או סימטריה ביחס לציר y.
  • חקר תחום ההגדרה וסימפטוטות של פונקציה עם שורש במכנה: א. 4 - x^2 > 0 ⇒ -2 < x < 2. תחום ההגדרה הוא ]-2, 2[. ב. סימפטוטות אנכיות הן ב-x=-2 ו-x=2 מכיוון שבנקודות אלו המכנה שואף לאפס והפונקציה אינה מוגדרת.