MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · חקירה מלאה של פונקציה

ב1. חקירת פונקצית מנה עם שורש

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
וידאו

א1. חקירת פונקצית מנה מציאת פרמטרים תחום הגדרה אסימפטוטות חיתוך עם הצירים

וידאו

א2. חקירת פונקצית מנה נקודות קיצון עליה וירידה

וידאו

א3. חקירת פונקצית מנה סעיפים מיוחדים חשוב ביותר

וידאו

ב1. חקירת פונקצית מנה עם שורש

וידאו

ב2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך

וידאו

ג1. חקירת פונקצית מנה מציאת פרמטרים

וידאו

ג2. חקירת פונקצית מנה תחום הגדרה אסימפטוטות חיתוך עם הצירים

וידאו

ג3. חקירת פונקצית מנה נקודות קיצון עליה וירידה

וידאו

ג4. חקירת פונקצית מנה סעיפים מיוחדים חשוב ביותר

וידאו

ד1. חקירת פונקצית מנה עם שורש

וידאו

ד2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך

סיכום שיעור

  • שיעור זה עוסק בחקירה מלאה של פונקציה המשלבת מנה ושורש, תוך התמקדות בהתנהגות הפונקציה, תחום ההגדרה, ואסימפטוטות. נלמד כיצד לגשת לניתוח נכון תוך התייחסות לאתגרים מתמטיים נפוצים ולמנוע טעויות כתיבה המתמטית.
  • להבין כיצד לחקור פונקציה הכוללת מונה ומכנה עם ביטוי שורש
  • לדעת לקבוע את תחום ההגדרה הנכון של הפונקציה
  • לנתח את ההתנהגות של הפונקציה באיזורים שונים ובקצוות התחום
  • לזהות ולנמק אסימפטוטות אופקיות בעזרת טכניקות של תקריבים וזניחים
  • להימנע מטעויות נפוצות בכתיבת משוואות ובחקירת הפונקציה
  • הקדמה לחקירת פונקציה עם שילוב מנה ושורש: הצגה של פונקציה שבה משתנה X מופיע בריבוע גם במכנה וגם תחת שורש, ודוגמה לאופן שבו יש לטפל בזה בצורה נכונה.
  • תחום ההגדרה של הפונקציה: יש לנתח את תחום הפונקציה בהתחשב בשורש ובמכנה על מנת להבטיח שהביטוי מוגדר במדויק.
  • נימוקים והסבר התנהגות הקצוות ואסימפטוטות: ניתוח אסימפטוטות אופקיות על ידי בדיקת התנהגות הפונקציה כשהמשתנה שואף לאינסוף או למינוס אינסוף, בשימוש בשיטות נימוק מורכבות עם זניחים וכן זיהוי השוני בהתנהגות בחלקים שונים של התחום.

תרגול קצר

קביעת תחום הגדרת פונקציה עם שורש ומכנה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = 1 חלקי השורש של (x בריבוע מינוס 4). קבע את תחום ההגדרה של הפונקציה.

תחום ההגדרהשורשמנה

רמז: תחום ההגדרה הוא כל הערכים שגורמים לביטוי תחת השורש להיות חיובי ושלא יהיה אפס במכנה.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא (-∞, -2) ∪ (2, ∞)

מתחת לשורש חייב להתקיים x בריבוע מינוס 4 > 0 כלומר x > 2 או x < -2. בנוסף מכיוון שהשורש במכנה, הביטוי שמכיל אותו לא יכול להיות 0, לכן x לא יכול להיות 2 או -2.

ניתוח אסימפטוטות אופקיות בפונקציה מורכבת

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = x חלקי השורש של (x בריבוע + 1). חקור את גבולות הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף ולמינוס אינסוף.

אסימפטוטותגבולותשורשקרה קצה

רמז: בחקר הגבולות יש לפשט את הפונקציה ולהתייחס לשורש של x בריבוע כאל פלוס מינוס x.

פתרון מלא

תשובה סופית: גבולות האסימפטוטות האופקיות הם 1 ו- -1 בהתאמה

כש-x שואף לאינסוף, השורש שואף ל-x ולכן f(x) שואף ל-1. כש-x שואף למינוס אינסוף, השורש שואף ל-|-x|= -x ולכן f(x) שואף ל- -1.

חקירת פונקציה עם מנה ושורש ומציאת נקודות אי-הגדרות

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חקור את הפונקציה f(x) = (x+3) חלקי השורש של (x בריבוע מינוס 4) ומצא את נקודות אי-ההגדרה שלה.

אי-הגדרהמכנהשורשתחום

רמז: קבע תחום הגדרת הפונקציה, וחשוב במיוחד על האפסים במכנה והוצא את תחום ההגדרה המתאים.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות אי-ההגדרה הן x=2 ו-x=-2; תחום ההגדרה (-∞,-2) ∪ (2,∞)

תחום ההגדרה דורש ש-x בריבוע מינוס 4 > 0 כך ש-x > 2 או x < -2. כמו כן, הביטוי במכנה לא יכול להיות 0 - לכן x ≠ 2, x ≠ -2. נקודות אי-ההגדרה הן x=2 ו-x=-2.

חקירת הגבולות והאסימפטוטות של פונקציה עם שורש

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = 1 חלקי השורש של (x בריבוע מינוס 4). חשב את הגבולות של הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף ולמינוס אינסוף, וקבע האם קיימות אסימפטוטות אופקיות.

חקר גבולותאסימפטוטות אופקיותשורשמנה

רמז: פשט את הביטוי והתייחס להתנהגות השורש בחלקי הקצוות.

פתרון מלא

תשובה סופית: אסימפטוטה אופקית: y=0

כאשר x שואף לאינסוף, השורש שואף ל-x ולכן f(x) שואף ל0. כנ"ל כש-x שואף למינוס אינסוף. לכן, y=0 היא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת תחום הגדרה ופונקציה עם שורש ומשוואה במכנה

איך לחקור פונקציה הכוללת מנה עם שורש בשלבים פשוטים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה

  2. נתון 1

    נתון 1

    הפונקציה f(x) = 1 חלקי שורש של (x בריבוע מינוס 4)
  3. נתון 2

    שורש במכנה מחייב שהביטוי תחת השורש יהיה חיוביstrictly

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    למצוא איפה הביטוי תחת השורש גדול מ-0 ולמנוע שהמחנה יהיה אפס

  5. נוסחה

    קבע שהביטוי x בריבוע מינוס 4 חייב להיות גדול מ-0

    x^2 - 4 > 0x^(2) - 4 > 0
  6. משוואה

    דאג ש-x לא יהיה שווה ל-2 או -2 כי הן מבטלות את המכנה

    דאג ש-x לא יהיה שווה ל-2 או -2 כי הן מבטלות את המכנה

  7. פישוט

    תחום ההגדרה הוא כל x שמקיים x > 2 או x < -2

    תחום ההגדרה הוא כל x שמקיים x > 2 או x < -2

    (-∞, -2) ∪ (2, ∞)
  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    בדוק את הפונקציה עבור ערך x=0 או x=1

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת התנאי על הביטוי תחת השורש

מה עושים

קבע שהביטוי x בריבוע מינוס 4 חייב להיות גדול מ-0

למה

השורש במכנה חייב להיות חיובי ולא אפס

כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת, הביטוי תחת השורש חייב להיות חיובי

נוסחה / הצבה

x^2 - 4 > 0x^(2) - 4 > 0

התייחסו לתנאי שורש במכנה

2

בחירת שיטה

פירוק הביטוי לשני אי שוויונות

מה עושים

פירק את אי השוויון ל-x > 2 או x < -2

למה

המשוואה גורמת לתחום להיות שבר בתחום שבו הביטוי התת שורש חיובי

x בריבוע מינוס 4 = (x-2)(x+2), ולכן הנתונים מתפלגים לשתי קבוצות

שימוש בעקרון אי השוויון הכפול

3

בניית משוואה

מניעת אפסות במכנה

מה עושים

דאג ש-x לא יהיה שווה ל-2 או -2 כי הן מבטלות את המכנה

למה

אין להכניס לערכים שבהם המכנה מתאפסים

משתנים אלה יוצרים חוסר הגדרה בפונקציה

קח בחשבון את האפסים של המחנה

4

פתרון

סיכום תחום ההגדרה

מה עושים

תחום ההגדרה הוא כל x שמקיים x > 2 או x < -2

למה

רק בטווח זה הביטוי יהיה חיובי ושאינו אפס במכנה

התחום הנכון הוא איחוד שני המקטעים ללא נקודות האפס

נוסחה / הצבה

(-∞, -2) ∪ (2, ∞)

כתוב את התחום בצורה מאוחדת

5

בדיקה

בדיקת ביטוי עבור ערכים מחוץ לתחום

מה עושים

בדוק את הפונקציה עבור ערך x=0 או x=1

למה

לקבל תוצאה לא מוגדרת כדי לוודא את תחום ההגדרה

כשמכניסים x=0 הביטוי מתחת לשורש שלילי ולכן לא מוגדר

בודקים ערכים שגויים מחוץ לתחום

6

תשובה

הצגת התוצאה הסופית

מה עושים

הצג את תחום ההגדרה המלא והנכון

למה

התלמיד צריך להבין את התוצאה הסופית לשליטה בחקירה

תחום ההגדרה הוא איחוד שני הקטעים (-∞, -2) ו-(2, ∞)

נוסחה / הצבה

תחום ההגדרה: (-∞, -2) ו-(2, ∞)

שמור על מנהגי כתיבה נכונים

פתרונות כלליים

  • קביעת תחום הגדרת פונקציה עם שורש ומכנה: מתחת לשורש חייב להתקיים x בריבוע מינוס 4 > 0 כלומר x > 2 או x < -2. בנוסף מכיוון שהשורש במכנה, הביטוי שמכיל אותו לא יכול להיות 0, לכן x לא יכול להיות 2 או -2.
  • ניתוח אסימפטוטות אופקיות בפונקציה מורכבת: כש-x שואף לאינסוף, השורש שואף ל-x ולכן f(x) שואף ל-1. כש-x שואף למינוס אינסוף, השורש שואף ל-|-x|= -x ולכן f(x) שואף ל- -1.
  • חקירת פונקציה עם מנה ושורש ומציאת נקודות אי-הגדרות: תחום ההגדרה דורש ש-x בריבוע מינוס 4 > 0 כך ש-x > 2 או x < -2. כמו כן, הביטוי במכנה לא יכול להיות 0 - לכן x ≠ 2, x ≠ -2. נקודות אי-ההגדרה הן x=2 ו-x=-2.
  • חקירת הגבולות והאסימפטוטות של פונקציה עם שורש: כאשר x שואף לאינסוף, השורש שואף ל-x ולכן f(x) שואף ל0. כנ"ל כש-x שואף למינוס אינסוף. לכן, y=0 היא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.
הפריט הקודםהפריט הבא