MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · חקירה מלאה של פונקציה

א2. חקירת פונקצית מנה נקודות קיצון עליה וירידה

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
וידאו

א1. חקירת פונקצית מנה מציאת פרמטרים תחום הגדרה אסימפטוטות חיתוך עם הצירים

וידאו

א2. חקירת פונקצית מנה נקודות קיצון עליה וירידה

וידאו

א3. חקירת פונקצית מנה סעיפים מיוחדים חשוב ביותר

וידאו

ב1. חקירת פונקצית מנה עם שורש

וידאו

ב2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך

וידאו

ג1. חקירת פונקצית מנה מציאת פרמטרים

וידאו

ג2. חקירת פונקצית מנה תחום הגדרה אסימפטוטות חיתוך עם הצירים

וידאו

ג3. חקירת פונקצית מנה נקודות קיצון עליה וירידה

וידאו

ג4. חקירת פונקצית מנה סעיפים מיוחדים חשוב ביותר

וידאו

ד1. חקירת פונקצית מנה עם שורש

וידאו

ד2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בחקירה מלאה של פונקציית מנה, מתמקד בזיהוי נקודות קיצון, תחומי עליה וירידה של פונקציה הנתונה כיחס בין פולינומים, באמצעות גזירה והשוואה לאפס של הנגזרת.
  • ללמוד כיצד לגזור פונקציית מנה
  • להשוות נגזרת לאפס ולמצוא נקודות קיצון
  • לזהות תחומי עליה וירידה באמצעות סימני הנגזרת
  • להשתמש במחשבון לבדיקת תוצאות ולוודא נכונות חישובית
  • גזירת פונקציית מנה: הסבר כיצד לגזור פונקציית מנה לפי כלל המנה, כולל פתיחת סוגריים ופישוט פולינומים.
  • מציאת נקודות קיצון: כיצד להשוות את הנגזרת לאפס ולמצוא את ערכי x המתאימים לנקודות קיצון על ידי בדיקת תחומי קיום המנה ולפתור משוואות ריבועיות וקוביות.
  • חקר עליה וירידה: הגדרת תחומי עליה וירידה על פי סימני הנגזרת בנקודות בין לבין, סימון סימני חיוב ושלילי והסקת מסקנות לגבי תנועה עולה ויורדת של הפונקציה.

תרגול קצר

מציאת נקודות קיצון לפונקצית מנה פשוטה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה y = (4x + 4) / (x^2 - 3). מצא את נקודות הקיצון שלה.

גזירת פונקציית מנהנקודות קיצוןחקר פונקציה

רמז: גזור לפי כלל המנה, השווה את הנגזרת לאפס ובדוק את תחום ההגדרה.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = 1 ו- x = -1

נגזור לפי כלל המנה: f = 4x + 4, g = x^2 -3. f' = 4, g' = 2x. לפי כלל המנה: y' = (f' * g - f * g') / g^2 = (4(x^2 -3) - (4x +4)(2x)) / (x^2 -3)^2 פשטות: ymultiply and simplify כדי לקבל פולינום מדרגה שנייה. משווים למכנה שונה מאפס, ואז y' = 0. פותרים y' = 0 כדי למצוא x.

הערכת תחומי עליה וירידה

רמת קושי: בינוני

ממתין

פונקציה y מוגדרת על ידי y = (x^3 - 4x) / (x^2 + 1). חקור את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

גזירת פונקציית מנהחקר עליה וירידהתחומי קיצון

רמז: מצא את y', סמן את סימני הנגזרת בתחומים בין נקודות שבהן y'=0 והמספרים שבהם y' אינה מוגדרת.

פתרון מלא

תשובה סופית: הפונקציה עולה ב:(-∞, -√2) וב:(√2, ∞), יורדת ב: (-√2, √2)

נגזור לפי כלל המנה ונקבל את y'. נמצא עבור אילו x y' = 0, ונבדוק את סימני y' בין תחומים אלו. נקודות אלו הן נקודות שינוי תנועה (עליה/ירידה).

ניתוח פונקציית מנה מורכבת

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חקר פונקציה נתונה על ידי y = (2x^4 - 5x^2 + 3) / (x^3 - x). מצא נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה.

פונקציית מנהנקודות קיצוןחקר פונקציה מורכבת

רמז: השתמש בכלל המנה, פשט ביטויים קשים, ושים לב לתחום ההגדרה.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות קיצון ב x = -1, 0.5; עולה ב (-∞, -1) ו (0.5, ∞); יורד ב (-1, 0.5)

חשב y' לפי כלל המנה. מצא איפה y' = 0 לאחר פישוט. זכור לבדוק איפה המכנה 0, לשלול נקודות מחוץ לתחום. קבע סימני y' בין נקודות אלו לצורך חקר עליה וירידה.

תכנון פתרון חקירת פונקציה

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה y = (4x + 4x^2 -16) / (x^3 + 2x^2 -3x). חקרו את נקודות הקיצון, תחומי עליה וירידה.

בגרות 5 יח״לפונקציית מנהנקודות קיצוןחקר פונקציה

רמז: כתב את הנגזרת לפי כלל המנה, פשוט, ומצא נקודות שבהן היא שווה 0, בהתאם לתחום ההגדרה.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות קיצון ב x = 1 ו-x = 4; הפונקציה עולה בין 1 ל-4; יורדת בתחומים אחרים

הגדר f = 4x + 4x^2 -16, g = x^3 + 2x^2 -3x. נגזור לפי כלל המנה y' = (f'g - fg')/g^2. פשט את הביטוי, השווה ל-0, בדוק תחום גזירה ומכנה שונה מאפס. מצא x בשווה לנגזרת 0. חושב סימני y' לפי טבלה, ומצא תחומי עליה וירידה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת נקודות קיצון לפונקצית מנה

איך למצוא נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא נקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס / תחומי עליה וירידה לפי סימני הנגזרת

  2. נתון 1

    נתון 1

    פונקציה f(x) = מנת פולינומים על צורת f/g
  3. נתון 2

    כלל המנה לגזירה

  4. נתון 3

    תחום ההגדרה שבו המכנה אינו אפס

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לגזור לפי כלל המנה, לפתור את y' = 0 בהתייחס לתחום ההגדרה, ולהעריך סימני נגזרת בין נקודות אלו.

  6. נוסחה

    נכתוב ייצוג מתמטי

  7. משוואה

    כתוב את הביטוי המפורש של y' לאחר הפישוט.

    כתוב את הביטוי המפורש של y' לאחר הפישוט.

  8. פישוט

    פתור את המשוואה y' = 0 בתחום ההגדרה.

    פתור את המשוואה y' = 0 בתחום ההגדרה.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הפונקציה והנתונים הבסיסיים

מה עושים

נתונה פונקציה כמנה של פולינומים עם תחום הגדרה כלשהו.

למה

חשוב לדעת את הפונקציה והתחום שבו נבצע חקירה.

הפונקציה נתונה כמנה f(x)/g(x); שים לב לתחום ההגבלה על x בגלל g(x) ≠ 0.

2

בחירת שיטה

השתמש בכלל המנה כדי לגזור

מה עושים

חשב את הנגזרת y' לפי כלל המנה.

למה

כי הנגזרת מאפשרת למצוא נקודות קיצון ולקבוע עליה וירידה.

y' = (f' * g - f * g') / g^2, לפי כלל המנה.

נוסחה / הצבה

y' = (f' * g - f * g') / g^2y' = (f' g - f g')/(g^2)

שמור על סדר פעולות נכון.

3

בניית משוואה

כתיבת משוואת הנגזרת

מה עושים

כתוב את הביטוי המפורש של y' לאחר הפישוט.

למה

להכין לבחינת איפה y' שווה 0.

פתח סוגריים, פרט את הנגזרת לפי פולינום, ופשט.

הקפד על סימנים ובדיקת קיום.

4

פתרון

השווה את y' לאפס

מה עושים

פתור את המשוואה y' = 0 בתחום ההגדרה.

למה

כדי למצוא את נקודות הקיצון ממשיות.

פתור פולינום שהתקבל וודא שהמכנה אינו אפס בנקודות אלה.

בחן את תחום הגדרה לפני הסקת מסקנות.

5

פתרון

חקר סימני y'

מה עושים

סמן את סימני y' בין נקודות שקיבלת.

למה

לקבוע איפה הפונקציה עולה ויורדת.

הציב נקודות מבחן וראה אם y' חיובי או שלילי.

אפשר גם להשתמש בטבלה.

6

תשובה

סיכום הממצאים

מה עושים

ציין נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה.

למה

כדי להשלים את חקירת הפונקציה.

נקודות מינימום ומקסימום; תחומים שבהם הפונקציה עולה או יורדת.

פתרונות כלליים

  • מציאת נקודות קיצון לפונקצית מנה פשוטה: נגזור לפי כלל המנה: f = 4x + 4, g = x^2 -3. f' = 4, g' = 2x. לפי כלל המנה: y' = (f' * g - f * g') / g^2 = (4(x^2 -3) - (4x +4)(2x)) / (x^2 -3)^2 פשטות: ymultiply and simplify כדי לקבל פולינום מדרגה שנייה. משווים למכנה שונה מאפס, ואז y' = 0. פותרים y' = 0 כדי למצוא x.
  • הערכת תחומי עליה וירידה: נגזור לפי כלל המנה ונקבל את y'. נמצא עבור אילו x y' = 0, ונבדוק את סימני y' בין תחומים אלו. נקודות אלו הן נקודות שינוי תנועה (עליה/ירידה).
  • ניתוח פונקציית מנה מורכבת: חשב y' לפי כלל המנה. מצא איפה y' = 0 לאחר פישוט. זכור לבדוק איפה המכנה 0, לשלול נקודות מחוץ לתחום. קבע סימני y' בין נקודות אלו לצורך חקר עליה וירידה.
  • תכנון פתרון חקירת פונקציה: הגדר f = 4x + 4x^2 -16, g = x^3 + 2x^2 -3x. נגזור לפי כלל המנה y' = (f'g - fg')/g^2. פשט את הביטוי, השווה ל-0, בדוק תחום גזירה ומכנה שונה מאפס. מצא x בשווה לנגזרת 0. חושב סימני y' לפי טבלה, ומצא תחומי עליה וירידה.
הפריט הקודםהפריט הבא