הלימוד עוסק במציאת פונקציה קדומה על ידי אינטגרציה של פונקציית נגזרת, תוך שימוש בתנאי התחלה להחלטת הקבוע C.
להבין את הקשר בין פונקציה לנגזרת שלה
ליישם אינטגרציה למציאת פונקציה קדומה
להשתמש בתנאי התחלה למציאת קבוע האינטגרציה
לבצע בקרה על פתרון על ידי הצבה
הגדרת הבעיה: נתונה נגזרת פונקציה F' ומתקבל הקודקוד של פונקציה F בנקודה מסוימת. המטרה היא למצוא את הפונקציה F עצמה.
שלבי הפתרון: מיישמים אינטגרציה לפונקציית הנגזרת, לאחר מכן משתמשים בנקודת הנתון כדי למצוא את הקבוע C ולבצע בדיקת נכונות.

תרגול קצר

מצא את הפונקציה F הנתונה נגזרת והנקודה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה נגזרת הפונקציה F'(x) = x^2 - x + 1. הפונקציה F עוברת בנקודה (1,2). מצא את הפונקציה F(x).

אינטגרליםפונקציה קדומהקבוע אינטגרציה

רמז: בצע אינטגרציה על F'(x), לאחר מכן השתמש בנקודת הנתון כדי למצוא את C.

פתרון מלא

תשובה סופית: F(x) = ⅓x³ - ½x² + x + 7/6

1. אינטגרציה של x^2 היא x^3/3. 2. אינטגרציה של -x היא -x^2/2. 3. אינטגרציה של 1 היא x. 4. סכום האינטגרלים יחד עם קבוע C: F(x) = x^3/3 - x^2/2 + x + C 5. הצב x=1 ו-F(x)=2 כדי למצוא את C: 2 = 1/3 - 1/2 + 1 + C 2 = (2/6 - 3/6 + 6/6) + C 2 = 5/6 + C C = 2 - 5/6 = 7/6

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל מציאת פונקציה קדומה

לדוגמה: מציאת F(x) מתוך F'(x) עם נקודת מעבר

8 תחנות6 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הפונקציה F(x) המתאימה
נתון 1
נתון 1
F'(x) = x² - x + 1
נתון 2
נתון 2
F(1) = 2
רעיון
הרעיון המרכזי
מבצעים אינטגרציה של F' לקבלת F, ואז משתמשים בנקודת הנתון למציאת C.
נוסחה
אינטגרציה של כל איבר בנפרד
x³/3 - x²/2 + x + C
משוואה
הצב x=1 ו-F(x)=2 במשוואה
הצב x=1 ו-F(x)=2 במשוואה
2 = 1/3 - 1/2 + 1 + C
פישוט
הצב x=1 שוב ב-F(x) וחפש 2
הצב x=1 שוב ב-F(x) וחפש 2
תוצאה
מסיימים בתשובה
כתוב את הפונקציה המלאה עם C שנמצא
F(x) = x³/3 - x²/2 + x + 7/6

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הבנת הנתונים

מה עושים

יש את נגזרת הפונקציה ואת נקודת המעבר עליה עוברת הפונקציה.

למה

הנוסחאות והנקודה מאפשרות להגדיר פונקציה ייחודית.

F'(x) נתונה, הפונקציה F עוברת דרך (1,2).

זכור ש-F(1)=2 הוא תנאי התחלה.

בחירת שיטה

הקשר בין נגזרת לפונקציה קדומה

מה עושים

מבצעים אינטגרציה כדי לקבל את הפונקציה המקורית.

למה

אינטגרל הפונקציה נגזרת הוא הפונקציה עצמה עם סכום קבוע.

F(x) הוא אינטגרל של F'(x) ועוד C.

נוסחה / הצבה

F(x) = אינטגרל F'(x) dx + CF(x) = ∫ F'(x) dx + CF(x) = F'(x) dx + C

שכח לא לשכוח להוסיף C!

בניית משוואה

חשב את האינטגרל

מה עושים

אינטגרציה של כל איבר בנפרד

למה

אינטגרל סכום שווה לסכום האינטגרלים

אינטגרלים של האיברים הם x³/3, -x²/2, ו-x בהתאמה.

נוסחה / הצבה

x³/3 - x²/2 + x + C

הוסף C בסוף הפתרון.

פתרון

מצא את C

מה עושים

הצב x=1 ו-F(x)=2 במשוואה

למה

כדי לקבל פתרון מדויק ולהגדיר קבוע אינטגרציה

2 = 1/3 - 1/2 + 1 + C => C = 7/6

נוסחה / הצבה

2 = 1/3 - 1/2 + 1 + C

חשב את הערך ושמור על שברים מדויקים.

בדיקה

וודא שהפונקציה נכונה

מה עושים

הצב x=1 שוב ב-F(x) וחפש 2

למה

להבטיח את נכונות הפתרון

חישוב F(1) מראה שהערך אכן 2.

בדיקה היא שלב הכרחי.

תשובה

הפונקציה הסופית

מה עושים

כתוב את הפונקציה המלאה עם C שנמצא

למה

זו הפונקציה הכוללת שמקיימת את כל התנאים.

F(x) = x³/3 - x²/2 + x + 7/6

נוסחה / הצבה

F(x) = x³/3 - x²/2 + x + 7/6

פתרונות כלליים

מצא את הפונקציה F הנתונה נגזרת והנקודה: 1. אינטגרציה של x^2 היא x^3/3. 2. אינטגרציה של -x היא -x^2/2. 3. אינטגרציה של 1 היא x. 4. סכום האינטגרלים יחד עם קבוע C: F(x) = x^3/3 - x^2/2 + x + C 5. הצב x=1 ו-F(x)=2 כדי למצוא את C: 2 = 1/3 - 1/2 + 1 + C 2 = (2/6 - 3/6 + 6/6) + C 2 = 5/6 + C C = 2 - 5/6 = 7/6

הפריט הקודם הפריט הבא

א8. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל פונקציה קדומה

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא הפונקציה F(x) המתאימה

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

אינטגרציה של כל איבר בנפרד

הצב x=1 ו-F(x)=2 במשוואה

הצב x=1 שוב ב-F(x) וחפש 2

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הבנת הנתונים

הקשר בין נגזרת לפונקציה קדומה

חשב את האינטגרל

מצא את C

וודא שהפונקציה נכונה

הפונקציה הסופית

פתרונות כלליים