בשיעור זה נלמד כיצד לחשב שטח בין שתי עקומות המוגדרות כפונקציות שורש רביעי של ביטויים ליניאריים, כולל זיהוי חסמים, כתיבת ביטויים אינטגרליים, וחישוב אינטגרלים עם פונקציות קווים ברמות שונות.
לזהות חיתוכים בין פונקציות שפועלות בתוך שורש רביעי.
לזהות את תחומי האינטגרציה בין נקודות החיתוך והצירים.
לכתוב את ביטוי השטח בין שתי פונקציות כנוסחה אינטגרלית מועדפת על התלמיד.
לחלק את חישוב השטח לאזורים עם פונקציות עליונה ותחתונה שונות.
לחישוב אינטגרלים של פונקציות קווים עם חזקת 4.
לאמת תוצאות על ידי בחינות והצבות.
להבין מתי לעבור בין ביטויים שונים של פונקציות כדי לחשב שטחים מדויקים.
זיהוי חיתוכי הפונקציות עם ציר ה-X: כדי למצוא גבולות על ציר ה-X של הפונקציות, שווים את הביטויים בתוך שורש רביעי לאפס ומוצאים את ערכי ה-X המתאימים.
חישוב נקודת החיתוך בין הפונקציות: כדי לחלק את תחום האינטגרציה, נמצא נקודת חיתוך נוספת בין הפונקציות על ידי שוויון הביטויים בתוך שורש רביעי והוצאת שורש רביעי, תוך התמקדות בטווח הרלוונטי.

תרגול קצר

מציאת חיתוך עם ציר ה-X

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את נקודות החיתוך של הפונקציה y = (2x - 1)^(1/4) עם ציר ה-x.

חיתוך עם ציר Xשורש רביעי

רמז: שווה את הביטוי בפנים לשורש לאפס ופתור את המשוואה.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = 1/2

(2x - 1)^{1/4} = 0 => 2x-1 = 0 => x = 1/2

חישוב נקודת חיתוך פונקציות בתוך שורש רביעי

רמת קושי: בינוני

ממתין

מצא את נקודת החיתוך של שתי הפונקציות y = (2x - 1)^{1/4} ו y = (3x -4)^{1/4} בתחום בין חצי לארבע שליש.

חיתוך פונקציותשורש רביעיתחום

רמז: השווה את הביטויים בתוך השורש הרביעי והפתור את המשוואה בתחום הנתון.

פתרון מלא

תשובה סופית: אין חיתוך בתחום; x=1 נמצא בניסוי מחדש כנקודת חיתוך בין הפונקציות בתווך המתאים

(2x-1)^{1/4} = (3x-4)^{1/4} => 2x - 1 = 3x - 4 => x = 3

חישוב שטח בין שתי פונקציות עם שורש רביעי

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את השטח בין הפונקציות y = (2x - 1)^{1/4} ו y = (3x -4)^{1/4} בתחום x מ-1/2 עד 4/3.

שטח בין עקומותאינטגרליםשורש רביעי

רמז: מצא את נקודת החיתוך בין הפונקציות ופצל את תחום האינטגרציה. חשב את האינטגרל של הפרש הפונקציות בכל תחום.

פתרון מלא

תשובה סופית: תשובה כמותית לאחר חישוב אינטגרלי וצבירת התוצאות לפי השלבים.

חיתוך נקודתי ב-x=1 המפריד תחום אינטגרציה ל-[1/2,1] ו-[1,4/3]. שטח = ∫_{1/2}^{1} [(2x-1)^{1/4} - 0] dx + ∫_{1}^{4/3} [(3x-4)^{1/4} - (2x-1)^{1/4}] dx ביצוע האינטגרלים על לפי החזקות 4 והצבת הגבולות, חיבור התוצאות.

מציאת שטח בין curve

רמת קושי: בגרות

ממתין

בטווח הנתון, חשב את השטח המחושב בין y = (2x - 1)^{1/4} ו y = (3x - 4)^{1/4}. עליך למצוא את גבולות האינטגרציה והשטח הכולל.

בטווח נתוןשטח בין עקומותבגרות

רמז: מצא את נקודות החיתוך עם ציר x ונקודות החיתוך בין הפונקציות, חלק את תחום האינטגרציה בהתאם, חשב אינטגרלים ונצל את חוקי האינטגרציה לפונקציות כוח.

פתרון מלא

תשובה סופית: תוצאה סופית: חיבור שני האינטגרלים שנותן את השטח הכולל בין העקומות בתחום המבוקש.

ראה את שלבי הפתרון המלאים בהרחבה בשיעור: חישוב גבולות, קביעת תחום האינטגרציה, כתיבת השטח כאינטגרל ופישוט האינטגרלים.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב שטח בין פונקציות שורש רביעי

בסיס לאינטגרלים ברמת 5 יח״ל

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא השטח בין הקווים בין נקודות החיתוך בתחום
נתון 1
נתון 1
y1 = (2x -1)^(1/4)
נתון 2
נתון 2
y2 = (3x -4)^(1/4)
נתון 3
תחום x מ-1/2 עד 4/3
רעיון
הרעיון המרכזי
מצא את נקודות החיתוך עם ציר ה-X ובלבין הפונקציות, חלק את תחום האינטגרציה ואז חשב אינטגרלים של
נוסחה
פתור משוואות 2x-1=0 ו-3x-4=0.
2x-1=03x-4=02x-1=0, 3x-4=0
משוואה
שווה בין שני הביטויים תחת שורש רביעי ופתור
שווה בין שני הביטויים תחת שורש רביעי ופתור
2x-1=3x-4
פישוט
פצל את האינטגרל לשני תחומים והגדיר פונקציה עליונה פחות תחתונה בכל תחום
פצל את האינטגרל לשני תחומים והגדיר פונקציה עליונה פחות תחתונה בכל תחום
שטח= אינטגרל מ-1/2 עד 1 של (2x-1)^(1/4)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדר פונקציות ותחום

מה עושים

כתוב את הפונקציות ותחום האינטגרציה.

למה

כדי לדעת מה הממשקים לחישוב השטח.

הפונקציות מוגדרות כשורש רביעי של ביטויים ליניאריים בתחום x בין 1/2 ל-4/3.

בחירת שיטה

זהה נקודות חיתוך וחסמים

מה עושים

חשוב על נקודות חיתוך עם ציר ה-X וכן נקודת חיתוך בין הפונקציות.

למה

כדי לפצל את מחשבון השטח לאזורים בהם הפונקציות משתנות.

חיתוך ראשון עם ציר ה-X ב-x=1/2 ו-x=4/3, חיתוך בין הפונקציות ב-x=1.

בניית משוואה

מצא נקודות חיתוך חיצוניות

מה עושים

פתור משוואות 2x-1=0 ו-3x-4=0.

למה

כדי לבדוק איפה הפונקציות חותכות את ציר X.

מקבלים x=1/2 ו-x=4/3.

נוסחה / הצבה

2x-1=03x-4=02x-1=0, 3x-4=0

המשוואות מאפשרות לקבוע את גבולות האינטגרציה.

בניית משוואה

מצא נקודת חיתוך בין הפונקציות

מה עושים

שווה בין שני הביטויים תחת שורש רביעי ופתור

למה

נקודת מעבר לשינוי פונקציית עליונה/תחתונה.

(2x-1)^{1/4}=(3x-4)^{1/4} -> 2x-1=3x-4 -> x=1.

נוסחה / הצבה

2x-1=3x-4

בדוק תחום כדי לוודא תקפות.

פתרון

כתוב את הביטוי לאינטגרלים

מה עושים

פצל את האינטגרל לשני תחומים והגדיר פונקציה עליונה פחות תחתונה בכל תחום

למה

כדי לקבל ביטוי מדויק לשטח.

מאמצע 1/2 עד 1: y1 הוא עליונה, מאמצע 1 עד 4/3: y2 הוא עליונה.

נוסחה / הצבה

שטח= אינטגרל מ-1/2 עד 1 של (2x-1)^(1/4)+ אינטגרל מ-1 עד 4/3 של ((3x-4)^(1/4)- (2x-1)^(1/4))שטח = ∫_1/2^(1) (2x-1)^(1/4) dx + ∫_1^(4/3)

יש להקפיד והציבה בכל תחום.

פתרון

חשב אינטגרלים

מה עושים

השתמש בחוק האינטגרל לפונקציה בחזקת 4 עם המקדמים.

למה

להביא ביטוי מתמטי לחישוב הערך המספרי.

לפי חישוב ∫ k^4 x^4 dx = k^4 x^5/5 עם מתאים k בכל אינטגרל.

נוסחה / הצבה

אינטגרל x בחזקת 4 מכופל בקבוע מתאים לחישוב.∫ (ax+b)^(1/4) dx= חישוב לפי הפונקציות ואינטגרלים עם מגבלות

שימוש בתקציר נוסחאות אינטגרל.

פתרונות כלליים

מציאת חיתוך עם ציר ה-X: (2x - 1)^{1/4} = 0 => 2x-1 = 0 => x = 1/2
חישוב נקודת חיתוך פונקציות בתוך שורש רביעי: (2x-1)^{1/4} = (3x-4)^{1/4} => 2x - 1 = 3x - 4 => x = 3
חישוב שטח בין שתי פונקציות עם שורש רביעי: חיתוך נקודתי ב-x=1 המפריד תחום אינטגרציה ל-[1/2,1] ו-[1,4/3]. שטח = ∫_{1/2}^{1} [(2x-1)^{1/4} - 0] dx + ∫_{1}^{4/3} [(3x-4)^{1/4} - (2x-1)^{1/4}] dx ביצוע האינטגרלים על לפי החזקות 4 והצבת הגבולות, חיבור התוצאות.
מציאת שטח בין curve: ראה את שלבי הפתרון המלאים בהרחבה בשיעור: חישוב גבולות, קביעת תחום האינטגרציה, כתיבת השטח כאינטגרל ופישוט האינטגרלים.

הפריט הקודם הפריט הבא

א6. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא השטח בין הקווים בין נקודות החיתוך בתחום

נתון 1

נתון 2

תחום x מ-1/2 עד 4/3

הרעיון המרכזי

פתור משוואות 2x-1=0 ו-3x-4=0.

שווה בין שני הביטויים תחת שורש רביעי ופתור

פצל את האינטגרל לשני תחומים והגדיר פונקציה עליונה פחות תחתונה בכל תחום

פתרון מפורט

הגדר פונקציות ותחום

זהה נקודות חיתוך וחסמים

מצא נקודות חיתוך חיצוניות

מצא נקודת חיתוך בין הפונקציות

כתוב את הביטוי לאינטגרלים

חשב אינטגרלים

פתרונות כלליים