MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · אינטגרלים

א7. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
2 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א3. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

וידאו

א4. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

וידאו

א5. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

וידאו

א6. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

וידאו

א7. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל שטח

וידאו

א8. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל פונקציה קדומה

וידאו

א9. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל פונקציה קדומה

וידאו

א10. אינטגרלים ברמה הבסיסית חישוב שטח

וידאו

א11. אינטגרלים ברמה הבסיסית חישוב שטח

וידאו

א12. אינטגרלים ברמה הבסיסית חישוב שטח

וידאו

א13. אינטגרלים ברמה הבסיסית מציאת פונקציה קדומה

וידאו

א14. אינטגרלים ברמה הבסיסית מציאת פונקציה קדומה

וידאו

ב1. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב2. אינטגרל טריגונומטרי

סיכום שיעור

  • שיעור זה מסביר כיצד לחשב שטח בין גרף לפונקציה לציר האיקס כאשר יש אזורים מעל ומתחת לציר, וכיצד לפרק את האינטגרל כדי לקבל את סכום השטחים המדויק.
  • הבנת משמעות אינטגרל כשטח תחת גרף
  • זיהוי אזורים בהם הפונקציה נמצאת מעל ומתחת לציר האיקס
  • חלוקה לאזורים וחישוב אינטגרלים עם הפרשים בין פונקציות
  • חשיבות תחומי האינטגרציה וחישובי מצבים נקודתיים לבקרה
  • הצגת הבעיה: הסבר על אזור המכיל חלק מעל ואזור מתחת לציר האיקס ודורש חלוקה לחישוב השטח באופן נכון.
  • חישוב האינטגרל: מציאת נקודות החיתוך עם ציר האיקס וכתיבת האינטגרלים לפי אזורים, כולל הפחתת האזור התחתון מהעליון.
  • בקרת התוצאה: בדיקת ערכים בנקודות גבול כדי לוודא כי התוצאה נכונה.

תרגול קצר

חישוב שטח בין פונקציה לציר האיקס עם חיתוך

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את השטח בין הפונקציה f(x) = -x^2 + 2x לבין ציר האיקס בתחום [0,3], כשפונקציה חותכת את הציר בנקודה x=2.

אינטגרליםשטח בין גרפיםפונקציות פולינומיות

רמז: פירק את האינטגרל לשני תחומים: מ-0 עד 2 ומ-2 עד 3. בכל תחום השתמש בסימן המתאים של הפונקציה כדי לחשב שטח חיובי.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח כולל = 4/3

נמצא את נקודת החיתוך ב-x=2. האינטגרל מתחלק לשני חלקים: אינטגרל מ-0 עד 2 של הפונקציה כפי שהיא, ואינטגרל מ-2 עד 3 של הפונקציה כשהערך הוא השלילי שלה (להפוך לסכום חיובי). נחשב כל אינטגרל בשיטת האינטגרלים הרגילה ונחבר את התוצאות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל חישוב שטח אינטגרלי עם חיתוך ציר האיקס

איך לחשב את השטח בין גרף הפונקציה לציר האיקס כאשר יש אזורים מעל ומתחת לציר

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא השטח הכולל בין הגרף לציר האיקס בתחום הנתון

  2. נתון 1

    נתון 1

    פונקציה f(x) = -x^2 + 2x
  3. נתון 2

    תחום אינטגרציה [0,3]

  4. נתון 3

    נתון 3

    נקודת חיתוך עם ציר האיקס ב-x=2
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    מחלקים את האינטגרל לשני תחומים לפי נקודת החיתוך, מחשבים כל אינטגרל בנפרד עם סימן מתאים, ומצרפים

  6. נוסחה

    כתוב את האינטגרלים מ-0 עד 2 של f(x) ומ-2 עד 3 של הנגזרת הנגדית שלו

    integral from 0 to 2 of f(x) dx minus integral from 2 to 3of f(x) dxאינטגרל 0^2 f(x) dx - אינטגרל 2^3 f(x) dx_0^2 f(x) dx - _2^3 f(x) dx
  7. משוואה

    מצא את נקודת החיתוך על ידי פתרון המשוואה f(x)=0

    מצא את נקודת החיתוך על ידי פתרון המשוואה f(x)=0

  8. פישוט

    חשב את האינטגרלים לכל תחום בנפרד והצב גבולות

    חשב את האינטגרלים לכל תחום בנפרד והצב גבולות

    חישוב אינטגרלים לפי החישובים שהוסברו בשיעור

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

זיהוי נקודת חיתוך עם ציר האיקס

מה עושים

מצא את נקודת החיתוך על ידי פתרון המשוואה f(x)=0

למה

הנחוץ לחלק את תחום האינטגרציה לאזורים שבהם הפונקציה משתנה מעל ומתחת לציר האיקס

פתרון -x^2 + 2x = 0, נקבל x=0 ו-x=2 בדרך כלל, נחלק לפי x=2

חשוב לוודא את תחומי האינטגרציה בכל חלק

2

בחירת שיטה

חלוקת תחומי האינטגרציה

מה עושים

חלק את האינטגרל לשני תחומים: מ-0 עד 2 ומ-2 עד 3

למה

כדי שהשטח יהיה חיובי יש להתחשב בשינוי הסימן של הפונקציה

תחום ראשון: 0 עד 2, בתחום זה הפונקציה מעל הציר, תחום שני: 2 עד 3, שם היא מתחת לציר

תבניות נתונות של שינוי סימן פחות ויותר הן נפוצות בבעיות שטח

3

בניית משוואה

כתיבת האינטגרלים המתאימים

מה עושים

כתוב את האינטגרלים מ-0 עד 2 של f(x) ומ-2 עד 3 של הנגזרת הנגדית שלו

למה

לקבל שטח חיובי גם באזור שבו הפונקציה מתחת לציר

האינטגרל הוא אינטגרל מ-0 עד 2 של f(x) פחות אינטגרל מ-2 עד 3 של f(x) (עם סימן הפוך)

נוסחה / הצבה

integral from 0 to 2 of f(x) dx minus integral from 2 to 3of f(x) dxאינטגרל 0^2 f(x) dx - אינטגרל 2^3 f(x) dx_0^2 f(x) dx - _2^3 f(x) dx

זהו הביטוי המתמטי להבנה הפשוטה של סך השטח

4

פתרון

חישוב האינטגרלים

מה עושים

חשב את האינטגרלים לכל תחום בנפרד והצב גבולות

למה

כדי לחשב את הערך המדויק של השטח

אינטגרל מ-0 ל-2 של -x^2+2x הוא 4/3, אינטגרל מ-2 ל-3 של אותו ביטוי הוא 1/3

נוסחה / הצבה

חישוב אינטגרלים לפי החישובים שהוסברו בשיעור

לעשות בקרה על ידי הצבה בנקודות המגבילות

5

פתרון

סיכום תוצאה

מה עושים

חבר את שתי התוצאות לטובת שטח כולל חיובי

למה

השטח הכולל הוא סכום השטחים בשני התחומים

שטח כולל = 4/3 + 1/3 = 5/3

בדוק תמיד סימנים וסדר חיבור

פתרונות כלליים

  • חישוב שטח בין פונקציה לציר האיקס עם חיתוך: נמצא את נקודת החיתוך ב-x=2. האינטגרל מתחלק לשני חלקים: אינטגרל מ-0 עד 2 של הפונקציה כפי שהיא, ואינטגרל מ-2 עד 3 של הפונקציה כשהערך הוא השלילי שלה (להפוך לסכום חיובי). נחשב כל אינטגרל בשיטת האינטגרלים הרגילה ונחבר את התוצאות.
הפריט הקודםהפריט הבא