MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · אינטגרלים

ב2. אינטגרל טריגונומטרי

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%

סיכום שיעור

  • שיעור שמציג כיצד לחשב אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות מורכבות באמצעות זיהוי זהויות טריגונומטריות ושימוש בשיטות פישוט לביצוע האינטגרל.
  • לחשב אינטגרלים של סינוס וקוסינוס עם מקדמים שונים
  • להבין וליישם זהויות טריגונומטריות לפישוט ביטויים לפני אינטגרציה
  • לעבוד עם אינטגרלים של מכפלות סינוס וקוסינוס באמצעות המרה לזהויות מוכרות
  • לשמור על דיוק בחישוב אינטגרלים עם משתנים ותדירויות שונות
  • אינטגרלים בסיסיים של סינוס: לחשב אינטגרל של סינוס עם מקדם רגיל או כפול תוך שמירה על מקדמים והוספת קבוע האינטגרציה.
  • שימוש בזהויות טריגונומטריות: פישוט ביטויים המכילים חזקות של סינוס וקוסינוס באמצעות זהות קוסינוס בריבוע פחות סינוס בריבוע = קוסינוס מסכום הזוויות.
  • אינטגרל של מכפלת סינוס וקוסינוס: המרה של מכפלה של סינוס וקוסינוס לזהויות המכפלה לסכום לשם פישוט האינטגרל.

תרגול קצר

אינטגרל בסיסי של סינוס עם מקדם

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל של הפונקציה: sin 3x dx

אינטגרליםטריגונומטריהsinמקדם

רמז: זכור לחלק ב-3 בגלל המקדם בתוך הסינוס

פתרון מלא

תשובה סופית: -cos 3x / 3 + C

האינטגרל של sin 3x הוא מינוס cos 3x חלקי 3 ועוד C.

אינטגרל של ביטוי עם זהות

רמת קושי: בינוני

ממתין

חשב את האינטגרל: cos²2x - sin²2x dx

אינטגרליםזהויות טריגונומטריותפישוטקוסינוס

רמז: השתמש בזהות קוסינוס 2X = cos²X - sin²X כדי לפשט

פתרון מלא

תשובה סופית: sin 4x / 4 + C

cos²2x - sin²2x = cos 4x. האינטגרל הוא sin 4x חלקי 4 ועוד C.

אינטגרל של מכפלת סינוס וקוסינוס

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את האינטגרל: sin x * cos x dx

אינטגרליםטריגונומטריהזהויותמכפלה

רמז: המיר את המכפלה לזהות מתאימה עם סינוס של זווית כפולה

פתרון מלא

תשובה סופית: -1/4 cos 2x + C

sin x cos x = 1/2 sin 2x, לכן ∫sin x cos x dx = 1/2 ∫sin 2x dx = -1/4 cos 2x + C.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל של sin x cos x

שימוש בזהות טריגונומטרית לפישוט אינטגרל

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא הפונקציה האינטגרלית F(x) של f(x)

  2. נתון 1

    נתון 1

    הפונקציה f(x) = sin x * cos x
  3. רעיון

    הרעיון המרכזי

    המר מכפלת סינוס וקוסינוס לזהות סינוס של זווית כפולה כדי לפשט את האינטגרל.

  4. נוסחה

    נוסחה סופית של האינטגרל

    -1/4 cos 2x + C
  5. משוואה

    החלפת sin x * cos x ב- 1/2 sin 2x

    החלפת sin x * cos x ב- 1/2 sin 2x

    f(x) = 1/2 sin 2x
  6. פישוט

    האינטגרל של sin 2x הוא -cos 2x חלקי 2, שומרים על מקדם 1/2

    האינטגרל של sin 2x הוא -cos 2x חלקי 2, שומרים על מקדם 1/2

    1/2 * (-cos 2x / 2) + C = -1/4 cos 2x + C
  7. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    מציאת האינטגרל ∫ f(x) dx = ∫ 1/2 sin 2x dx

    ∫ 1/2 sin 2x dx
  8. בדיקה

    בדיקה קצרה

    • זיהוי זהות מתאימה לשינוי המכפלה לסכום/סינוס כפול זווית
    • שימוש נכון במקדמים בתוך האינטגרל
    • זהירות: שכחת לחלק במקדם הפנימי 2 בתוך הסינוס

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הפונקציה הכוללת מכפלת סינוס וקוסינוס

מה עושים

נרשם הביטוי sin x * cos x

למה

זה הביטוי שעליו נחשב אינטגרל

מתוך השאלה, הפונקציה הנתונה היא מכפלת סינוס וקוסינוס.

2

בחירת שיטה

השתמש בזהות טריגונומטרית למכפלה

מה עושים

החלפת המכפלה בנוסחה חצי סינוס של זווית כפולה

למה

כדי לפשט את האינטגרל לפונקציה מוכרת יותר

sin x * cos x = 1/2 sin 2x - זה עוזר לפתור אינטגרלים של מכפלות בקלות.

3

בניית משוואה

כתיבת הביטוי כ-חצי סינוס 2x

מה עושים

החלפת sin x * cos x ב- 1/2 sin 2x

למה

פישוט אשר מאפשר ביצוע אינטגרל ישיר

f(x) = 1/2 sin 2x

נוסחה / הצבה

f(x) = 1/2 sin 2x

זכור לשמור על המקדמים.

4

בניית משוואה

כתיבת אינטגרל של חצי סינוס 2x

מה עושים

מציאת האינטגרל ∫ f(x) dx = ∫ 1/2 sin 2x dx

למה

על מנת לחשב אינטגרל באמצעות פונקציה מפושטת

צריך לבצע אינטגרציה של חצי סינוס של 2x.

נוסחה / הצבה

∫ 1/2 sin 2x dx
5

פתרון

אינטגרל של סינוס עם מקדם

מה עושים

האינטגרל של sin 2x הוא -cos 2x חלקי 2, שומרים על מקדם 1/2

למה

שימוש בנוסחאות בסיסיות של אינטגרלים

∫ 1/2 sin 2x dx = 1/2 * (-cos 2x / 2) + C = -1/4 cos 2x + C

נוסחה / הצבה

1/2 * (-cos 2x / 2) + C = -1/4 cos 2x + C

חשוב לחלק במקדם הפנימי ולהכפיל במקדמים.

6

תשובה

תוצאה סופית של האינטגרל

מה עושים

נוסחה סופית של האינטגרל

למה

פתרון מבוקש לשאלה

האינטגרל הוא -1/4 cos 2x + C

נוסחה / הצבה

-1/4 cos 2x + C

פתרונות כלליים

  • אינטגרל בסיסי של סינוס עם מקדם: האינטגרל של sin 3x הוא מינוס cos 3x חלקי 3 ועוד C.
  • אינטגרל של ביטוי עם זהות: cos²2x - sin²2x = cos 4x. האינטגרל הוא sin 4x חלקי 4 ועוד C.
  • אינטגרל של מכפלת סינוס וקוסינוס: sin x cos x = 1/2 sin 2x, לכן ∫sin x cos x dx = 1/2 ∫sin 2x dx = -1/4 cos 2x + C.