וידאו · אינטגרלים
ב11. אינטגרל טריגונומטרי
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בשיעור זה נלמד כיצד לחשב אינטגרל של פונקציה טריגונומית מסוג cos בריבוע x באמצעות זהויות טריגונומטריות והמרה לנוסחה ניתנת לאינטגרציה ישירה.
- להבין ולהשתמש בזהויות טריגונומטריות להמרת פונקציות לקלות יותר לאינטגרל.
- לחשב אינטגרל של cos בריבוע
- להוסיף את הקבוע המתמטי של אינטגרציה.
- לפתור אינטגרלים הכוללים פונקציות טריגונומטריות עם זוויות מוכפלות.
- הצגת הבעיה: נרצה לחשב את האינטגרל של cos בריבוע x שלא ניתן לחשב ישירות.
- שימוש בזהות טריגונומטרית: השתמשות בזהות cos בריבוע x = (1 + cos 2x)/2 כדי לפשט את האינטגרל.
- חישוב האינטגרל: אינטגרציה של הביטוי המשונן בתוספת קבוע אינטגרציה C.
תרגול קצר
אינטגרל של cos בריבוע x
רמת קושי: קל
חשב את האינטגרל של הפונקציה cos בריבוע x ביחס ל-x.
רמז: השתמש בזהות cos בריבוע x = (1+cos 2x)/2 כדי להמיר את הפונקציה קודם.
פתרון מלא
תשובה סופית: (1/2) x + (1/4) sin(2x) + C
תחילה יש להמיר את הביטוי: cos^2 x = (1 + cos 2x) / 2. אז האינטגרל הוא ∫cos^2 x dx = ∫(1/2 + 1/2 cos 2x) dx = ∫1/2 dx + ∫1/2 cos 2x dx. האינטגרל הראשון פשוט: 1/2 x. בבירור האינטגרל השני: 1/2 * (1/2) sin 2x = 1/4 sin 2x. בסוף מוסיפים C: 1/2 x + 1/4 sin 2x + C.
דרך הפתרון
אינטגרל של cos בריבוע x
פתרון אינטגרלי טריגונומטרי באמצעות זהות
מפת פתרון
- מטרה
למצוא אינטגרל ∫ cos^2 x dx
- נתון 1
הפונקציה cos בריבוע x
- נתון 2
נתון 2
זהות טריגונומטרית: cos^2 x = (1 + cos 2x) / 2 - רעיון
הרעיון המרכזי
להמיר באמצעות זהות טריגונומטרית ולחשב אינטגרל של הביטוי הפשוט יותר.
- נוסחה
רשום את האינטגרל כמספר אינטגרלים פשוטים: ∫(1/2)dx + ∫(1/2) cos 2x dx.
Integral cos^2 x dx= Integral 1/2 dx+ Integral 1/2 cos 2x dx∫ cos^2 x dx = ∫ 1/2 dx + ∫ 1/2 cos 2x dx^2 x dx = (1)/(2) dx + (1)/(2) 2x dx - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
חשב אינטגרל של 1/2 שהוא 1/2 x והאינטגרל של 1/2 cos 2x שהוא 1/4 sin 2x.
חשב אינטגרל של 1/2 שהוא 1/2 x והאינטגרל של 1/2 cos 2x שהוא 1/4 sin 2x.
Integral 1/2 dx = 1/2 xIntegral 1/2 cos 2x dx = 1/4 sin 2x - תוצאה
מסיימים בתשובה
חבר את התוצאות והוסף C: (1/2) x + (1/4) sin 2x + C.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הצגת הפונקציה נתונה
זיהוי נתונים
הצגת הפונקציה נתונה
מה עושים
נתונה הפונקציה cos בריבוע x לאינטגרציה.
למה
אי אפשר לחשב את האינטגרל ישירות.
הבעיה היא שאינטגרל של cos בריבוע x אינו טריוויאלי.
2בחירת שיטה
החלפת הפונקציה באמצעות זהות טריגונומטרית
בחירת שיטה
החלפת הפונקציה באמצעות זהות טריגונומטרית
מה עושים
השתמש בזהות cos בריבוע x = (1 + cos 2x)/2.
למה
זהות זו ממירה את הפונקציה לפורמט שקל יותר לאינטגרציה.
הפונקציה המקורית מוזנת לנוסחה חדשה בעזרת זהות מוכרת.
נוסחה / הצבה
cos^2 x = (1 + cos 2x) / 2^2 x = (1 + 2x)/(2)בחלק מהבעיות זהות זו מאוד שימושית.
3בניית משוואה
רשום את האינטגרל בצורת הסכום
בניית משוואה
רשום את האינטגרל בצורת הסכום
מה עושים
רשום את האינטגרל כמספר אינטגרלים פשוטים: ∫(1/2)dx + ∫(1/2) cos 2x dx.
למה
כך מפשטים את חישוב האינטגרל לפונקציות ידועות.
הביטוי מתחלק לשני אינטגרלים נפרדים שקל להתמודד איתם.
נוסחה / הצבה
Integral cos^2 x dx= Integral 1/2 dx+ Integral 1/2 cos 2x dx∫ cos^2 x dx = ∫ 1/2 dx + ∫ 1/2 cos 2x dx^2 x dx = (1)/(2) dx + (1)/(2) 2x dx4פתרון
חשב את האינטגרלים
פתרון
חשב את האינטגרלים
מה עושים
חשב אינטגרל של 1/2 שהוא 1/2 x והאינטגרל של 1/2 cos 2x שהוא 1/4 sin 2x.
למה
ביטויים אלו מוכרים ואינטגרל שלהם ידוע.
השתמש בנוסחאות אינטגרציה סטנדרטיות של פונקציות קבועות וקוסינוס.
נוסחה / הצבה
Integral 1/2 dx = 1/2 xIntegral 1/2 cos 2x dx = 1/4 sin 2x∫(1/2) dx = (1/2) x∫(1/2) cos 2x dx = (1/4) sin 2x(1)/(2) dx = (1)/(2) xזכור לחלק לפי המקדם של הזווית.
5תשובה
סיכום והוספת קבוע C
תשובה
סיכום והוספת קבוע C
מה עושים
חבר את התוצאות והוסף C: (1/2) x + (1/4) sin 2x + C.
למה
אינטגרל בלתי מסוים דורש הוספת קבוע אינטגרציה.
סיום פתרון האינטגרל עם ציוץ הקבוע.
לא לשכוח את הקבוע.
פתרונות כלליים
- אינטגרל של cos בריבוע x: תחילה יש להמיר את הביטוי: cos^2 x = (1 + cos 2x) / 2. אז האינטגרל הוא ∫cos^2 x dx = ∫(1/2 + 1/2 cos 2x) dx = ∫1/2 dx + ∫1/2 cos 2x dx. האינטגרל הראשון פשוט: 1/2 x. בבירור האינטגרל השני: 1/2 * (1/2) sin 2x = 1/4 sin 2x. בסוף מוסיפים C: 1/2 x + 1/4 sin 2x + C.