וידאו · אינטגרלים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ב4. אינטגרל טריגונומטרי
ב5. אינטגרל טריגונומטרי
ב6. אינטגרל טריגונומטרי
ב7. אינטגרל טריגונומטרי
ב8. אינטגרל טריגונומטרי
ב9. אינטגרל טריגונומטרי
ב10. אינטגרל טריגונומטרי
ב11. אינטגרל טריגונומטרי
ג1. אינטגרל נפח גוף סיבוב
חשוב את האינטגרל של טנגנס בריבוע של x
רמת קושי: קל
חשב את האינטגרל של tan^2(x) dx ללא גבולות.
רמז: השתמש בזהות tan^2(x) = 1 / cos^2(x) - 1 כדי לפשט.
תשובה סופית: tan x - x + C
∫ tan^2(x) dx = ∫ (1 / cos^2(x) - 1) dx = ∫ 1 / cos^2(x) dx - ∫ 1 dx = tan x - x + C
שימוש בזהויות לפישוט וחישוב עם גבולות
F' = טנגנס בריבוע של xF(1) = π חלקי 4להמיר את טנגנס בריבוע לצורה מוכרת ואז לחשב את האינטגרל ולהציב את תנאי השפה.
integral tan^2(x) dx = integral (1 / cos^2(x) - 1) dx^2(x) dx = ((1)/(^2(x)) - 1) dxהציב x=1 ו-F(1)=π/4 ומשוואה: π/4 = tan(1) - 1 + C.
חשב את אינטגרל 1 / cos^2(x) שהוא tan x, ואינטגרל 1 שהוא x.
F(x) = tan x - x + C.
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
כתוב כי F' שווה לטנגנס בריבוע של x ונתון ש-F(1) = π/4.
למה
כדי להגדיר את הבעיה ולהבין את תנאי השפה.
הפונקציה F עם נגזרת F' ידועה ומצב התחלה נתון.
בחירת שיטה
מה עושים
המיר tan^2(x) ל-1/cos^2(x) פחות 1.
למה
כי אינטגרל של טנגנס בריבוע ישיר קשה, ולכן מפשטים.
tan^2(x) = 1/cos^2(x) - 1.
נוסחה / הצבה
tan^2(x) = 1 / cos^2(x) - 1^2(x) = (1)/(^2(x)) - 1הזהות פורצת דרך בדרך לפתרון.
בניית משוואה
מה עושים
אינטגרל של tan^2(x) dx = אינטגרל של (1/cos^2(x) - 1) dx.
למה
כדי לפרק את האינטגרל לביטויים נוחים יותר.
∫ tan^2(x) dx = ∫ (1/cos^2(x) - 1) dx
נוסחה / הצבה
integral tan^2(x) dx = integral (1 / cos^2(x) - 1) dx^2(x) dx = ((1)/(^2(x)) - 1) dxפתרון
מה עושים
חשב את אינטגרל 1 / cos^2(x) שהוא tan x, ואינטגרל 1 שהוא x.
למה
כדי לקבל ביטוי מפושט של האינטגרל.
∫ 1/cos^2(x) dx = tan x + C, ∫ 1 dx = x + C
הזהות של הנגזרת של טנגנס חיונית.
פתרון
מה עושים
F(x) = tan x - x + C.
למה
על פי חיבור האינטגרלים שהתקבלו לאחר הפישוט.
F(x) = tan x - x + C
פתרון
מה עושים
הציב x=1 ו-F(1)=π/4 ומשוואה: π/4 = tan(1) - 1 + C.
למה
כדי למצוא את קבוע האינטגרציה C.
C = π/4 - tan(1) + 1
חשוב להציב את הערכים דווקא בתנאי השפה הנתון.