וידאו · אינטגרלים
ב10. אינטגרל טריגונומטרי
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור זה עוסק בחקירה מלאה של פונקציה טריגונומטרית מסוג טנגנס בריבוע, כולל תחום הגדרה, חיתוכים עם הצירים, נקודות קיצון, ומשיכה לאינטגרל טריגונומטרי הכולל שימוש בזהות טריגונומטרית מוכרת להפשטת האינטגרל.
- להוכיח זהויות טריגונומטריות פשוטות
- לזהות תחום הגדרה של פונקציות טריגונומטריות
- לבצע חקירה גרפית של פונקציה (אסימפטוטות, נקודות חיתוך, נקודות קיצון)
- לפשט ביטויים טריגונומטריים תוך שימוש בזהויות
- לפתור אינטגרלים על פונקציות טריגונומטריות על ידי החלפה וניצול של זהויות
- הוכחת זהויות טריגונומטריות: הוכחה קצרה ונקייה של זהות טאנגנס בריבוע, באמצעות שימוש בנוסחה סינוס בריבוע ועוד קוסינוס בריבוע שווה 1.
- תחום הגדרה וניתוח פונקציה: בדיקה של תחום ההגדרה של הטאנגנס בריבוע בתחום בין מינוס חצי פאי לחצי פאי, כשמניחים שהקוסינוס שונה מאפס. זיהוי אסימפטוטות ונקודות חיתוך עם הצירים.
- חישוב נגזרת הפונקציה: גזירת טאנגנס בריבוע כולל הזכרת נגזרת הטנגנס וחשיבות שמירת המקדם, וכן מציאת נקודות קיצון על ידי פתרון טנגנס x שווה אפס.
- פתרון אינטגרל טריגונומטרי: חישוב שטח מוגדר בין הישר y=3 לפונקציה הנגזרת, תוך שימוש בזהות לטנגנס בריבוע ותחום הגבלה בין שורש שלוש ומינוס שורש שלוש. מעבר לאינטגרל על טנגנס איננו פשוט, ולכן משתמשים בזיהוי הזהויות להחליף לאינטגרלים מוכרים יותר.
תרגול קצר
הוכיחו את הזהות הבסיסית לטאנגנס בריבוע
רמת קושי: קל
הוכיחו כי טאנגנס בריבוע של x זהה לביטוי (1 / cos^2(x)) פחות 1.
רמז: השתמשו בזהות sin^2(x) + cos^2(x) = 1 והחליפו את sin^2(x) בביטוי המתאים.
פתרון מלא
תשובה סופית: tan^2(x) = 1/cos^2(x) - 1
מתחילים מהגדרת הטאנגנס בריבוע tan^2(x) = sin^2(x)/cos^2(x). משתמשים בזהות sin^2(x) = 1 - cos^2(x), כך ש tan^2(x) = (1 - cos^2(x))/cos^2(x) = 1/cos^2(x) - 1.
מציאת תחום הגדרה של טאנגנס בריבוע
רמת קושי: בינוני
מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = tan^2(x) בתחום בין -π/2 ל-π/2.
רמז: זכרו שטאנגנס מוגדר כאשר cos(x) שונה מאפס.
פתרון מלא
תשובה סופית: x ∈ (-π/2, π/2)
טאנגנס x מוגדר כאשר cos(x)≠0. בתחום (-π/2, π/2) cos(x) שונה מאפס. לכן תחום ההגדרה הוא x ∈ (-π/2, π/2), ללא הכללה של הקצוות.
חישוב שטח בין גרף הנגזרת לישר
רמת קושי: מאתגר
נתונה הפונקציה g(x) = (tan(x))^2, חישבו את השטח הכלוא בין הגרף של הנגזרת g'(x) לבין הישר y=3 בתחום בין -π/3 ל-π/3.
רמז: השתמשו בזהות לטאנגנס בריבוע כדי להפוך את האינטגרל לפשוט יותר ופשטו את האינטגרל בהתאם.
פתרון מלא
תשובה סופית: השטח ≈ 4.913
ראשית, מזהים שהנגזרת g'(x) = 2 tan(x) * (1/cos^2(x)) = 2 tan(x)/cos^2(x). למצוא את השטח נתון האינטגרל של 3 - g'(x) מ -π/3 עד π/3. משתמשים בזהות tan^2(x) = 1/cos^2(x) - 1 כדי להחליף ולהפשט את הביטוי לאינטגרל ידוע. חישוב האינטגרל נותן תוצאה מספרית של כ-4.913.
ניסוי איטגרלי עם פונקציה טנגנס בריבוע
רמת קושי: בגרות
פונקציה f(x) = tan^2(x) בתחום (-π/2, π/2). מצאו את תחום ההגדרה, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודות קיצון, וחשבו את השטח הכלוא בין הגרף של הנגזרת ל-y=3 בתחום מ-(-π/3) עד (π/3).
רמז: בצעו שלבים של חקירה פונקציונלית מלאה, השתמשו בזהויות טריגונומטריות לפישוט אינטגרלים.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום: (-π/2, π/2), נקודת קיצון ב-0, שטח ≈ 4.913
תחום ההגדרה: x ∈ (-π/2, π/2). נקודות חיתוך: x=0, y=0. נקודת קיצון ב-x=0 על פי נגזרת שווה 0. השטח מחושב על ידי אינטגרל של (3 - f'(x)) מ- -π/3 עד π/3, שימוש בזהות tan^2(x)=1/cos^2(x)-1 והערכת האינטגרל. תוצאה סופית כ-4.913.
דרך הפתרון
פתרון אינטגרל שטח בין גרף פונקציה לישר
חקירת פונקציה וטיפול באינטגרל טריגונומטרי
מפת פתרון
- מטרה
למצוא השטח הכלוא בין הפונקציה לישר בתוך התחום
- נתון 1
נתון 1
f(x) = tan^2(x) - נתון 2
תחום x ∈ (-π/3, π/3)
- נתון 3
נתון 3
הישר y=3 - רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בזהויות טריגונומטריות להחלפת טאנגנס בריבוע ונחשב אינטגרל של הפונקציה המייצגת את ההפרש בין
- נוסחה
מחליפים tan²(x) לפי הזהות, מקבלים אינטגרל של 4 פחות 1/cos²(x)
אינטגרל 4 dx מינוס אינטגרל 1 חלקי cos בריבוע x dx - משוואה
כוננים אינטגרל של (3 - tan²(x)) מ- -π/3 עד π/3
כוננים אינטגרל של (3 - tan²(x)) מ- -π/3 עד π/3
- פישוט
מחשבים 4x מינוס tan(x) בתחום הנתון ומציבים את הגבולות
מחשבים 4x מינוס tan(x) בתחום הנתון ומציבים את הגבולות
4 x - tan x בין -π/3 ל π/3
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הפונקציה והתחום
זיהוי נתונים
הפונקציה והתחום
מה עושים
הפונקציה היא tan בריבוע בתחום מ- -π/3 עד π/3
למה
הגדרת תחום ואזור שבו מחשבים את השטח
רשום את הפונקציה f(x)=tan²(x) ואת התחום
2בחירת שיטה
שימוש בזהות טריגונומטרית
בחירת שיטה
שימוש בזהות טריגונומטרית
מה עושים
מציבים tan²(x) כ-1/cos²(x)-1
למה
פישוט הפונקציה המאפשר אינטגרציה נוחה יותר
בטנגנס בריבוע מחליפים לפי הזהות
זכור את הזהות tan^2(x) = 1/cos^2(x) - 1
3בניית משוואה
הכנת האינטגרל
בניית משוואה
הכנת האינטגרל
מה עושים
כוננים אינטגרל של (3 - tan²(x)) מ- -π/3 עד π/3
למה
כדי לחשב את השטח שאליו מכוונים
השטח הוא האינטגרל ממינוס π חלקי 3 עד π חלקי 3 של ההפרש בין 3 ל-f(x)
4פתרון
פישוט האינטגרל
פתרון
פישוט האינטגרל
מה עושים
מחליפים tan²(x) לפי הזהות, מקבלים אינטגרל של 4 פחות 1/cos²(x)
למה
להשתמש באינטגרלים ידועים של פונקציות טריגונומטריות
הופכים את האינטגרל לאינטגרל של 4 פחות אינטגרל של 1/cos²(x)
נוסחה / הצבה
אינטגרל 4 dx מינוס אינטגרל 1 חלקי cos בריבוע x dxאינטגרל 1 חלקי cos בריבוע x הוא tan(x)
5פתרון
חישוב ערכי האינטגרל
פתרון
חישוב ערכי האינטגרל
מה עושים
מחשבים 4x מינוס tan(x) בתחום הנתון ומציבים את הגבולות
למה
חישוב התוצאה המספרית הסופית
מחשב הצבה ב- π/3 ו- -π/3
נוסחה / הצבה
4 x - tan x בין -π/3 ל π/3השתמש במחשבון או בערכים מקורבים של tan(π/3)
6תשובה
תוצאה סופית
תשובה
תוצאה סופית
מה עושים
השטח המשוער הוא כ- 4.913
למה
הצגת הפתרון הסופי והמשמעות שלו
מסכמים את ערך השטח לפי החישוב
פתרונות כלליים
- הוכיחו את הזהות הבסיסית לטאנגנס בריבוע: מתחילים מהגדרת הטאנגנס בריבוע tan^2(x) = sin^2(x)/cos^2(x). משתמשים בזהות sin^2(x) = 1 - cos^2(x), כך ש tan^2(x) = (1 - cos^2(x))/cos^2(x) = 1/cos^2(x) - 1.
- מציאת תחום הגדרה של טאנגנס בריבוע: טאנגנס x מוגדר כאשר cos(x)≠0. בתחום (-π/2, π/2) cos(x) שונה מאפס. לכן תחום ההגדרה הוא x ∈ (-π/2, π/2), ללא הכללה של הקצוות.
- חישוב שטח בין גרף הנגזרת לישר: ראשית, מזהים שהנגזרת g'(x) = 2 tan(x) * (1/cos^2(x)) = 2 tan(x)/cos^2(x). למצוא את השטח נתון האינטגרל של 3 - g'(x) מ -π/3 עד π/3. משתמשים בזהות tan^2(x) = 1/cos^2(x) - 1 כדי להחליף ולהפשט את הביטוי לאינטגרל ידוע. חישוב האינטגרל נותן תוצאה מספרית של כ-4.913.
- ניסוי איטגרלי עם פונקציה טנגנס בריבוע: תחום ההגדרה: x ∈ (-π/2, π/2). נקודות חיתוך: x=0, y=0. נקודת קיצון ב-x=0 על פי נגזרת שווה 0. השטח מחושב על ידי אינטגרל של (3 - f'(x)) מ- -π/3 עד π/3, שימוש בזהות tan^2(x)=1/cos^2(x)-1 והערכת האינטגרל. תוצאה סופית כ-4.913.