וידאו · אינטגרלים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ב2. אינטגרל טריגונומטרי
ב3. אינטגרל טריגונומטרי
ב4. אינטגרל טריגונומטרי
ב5. אינטגרל טריגונומטרי
ב6. אינטגרל טריגונומטרי
ב7. אינטגרל טריגונומטרי
ב8. אינטגרל טריגונומטרי
ב9. אינטגרל טריגונומטרי
ב10. אינטגרל טריגונומטרי
ב11. אינטגרל טריגונומטרי
ג1. אינטגרל נפח גוף סיבוב
מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה-Y
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה y = sin(x) + cos(x). חשבו את ערך הפונקציה בנקודת החיתוך עם ציר ה-Y.
רמז: נציב x=0 בפונקציה ונחשב.
תשובה סופית: 1
y(0) = sin(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1
מציאת נקודות קיצון לפונקציה טריגונומטרית
רמת קושי: בינוני
מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה y = sin(x) + cos(x) בתחום [0, 2π].
רמז: נגזור את הפונקציה, נשווה לאפס ונבדוק תחומי פתרון מתאימים.
תשובה סופית: x = π/4 ו- 5π/4
נגזרת: y' = cos(x) - sin(x) משוואה ל-y' = 0: cos(x) = sin(x) ⇒ tan(x) = 1 פתרון: x = π/4 + kπ בתחום [0,2π]: x= π/4, 5π/4
מציאת משוואת המשיק בנקודת מקסימום
רמת קושי: מאתגר
נתונה הפונקציה y = sin(x) + cos(x). מצא את משוואת המשיק לנקודת המקסימום בתחום [0, 2π].
רמז: נקודת מקסימום נקבעת בנקודה שבה y' = 0 ומעבר בשינוי סימן הרצוי. שיפוע המשיק בנקודה זו הוא 0.
תשובה סופית: y = √2
נקודת מקסימום ב-x = π/4 y(π/4) = sin(π/4) + cos(π/4) = √2/2 + √2/2 = √2 שיפוע המשיק y'=0 משוואת המשיק: y = √2
חישוב השטח הכלוא בין משיק, העקומה וציר ה-X
רמת קושי: בגרות
בנקודת המקסימום בנקודה x=π/4 של y = sin(x) + cos(x) נמצא את השטח הכלוא בין המשיק, גרף הפונקציה, וציר ה-X בתחום הנתון [0, π/2].
רמז: חשב את משוואת המשיק, את נקודת החיתוך עם ציר ה-X, ואז אינטגרל כדי לחשב שטח.
תשובה סופית: (π/2)√2 - 2
משוואת המשיק: y = √2 חיתוך המשיק עם ציר ה-X: y=0 ⇒ משיק לא חותך, השטח מוגבל ב-0 עד π/2 שטח מתחת לגרף: אינטגרל מ 0 ל π/2 של (sin(x)+cos(x)) dx = [-cos(x)+sin(x)] מ0 עד π/2 = (-cos(π/2)+sin(π/2)) - (-cos(0)+sin(0))= (0+1)-(−1+0)=1+1=2 שטח מתחת למשיק: √2 * (π/2 -0) = (π/2)√2 שטח הכלוא: שטח בין המשיק לגרף = שטח מתחת למשיק - שטח מתחת לגרף = (π/2)√2 - 2
מציאת נקודות קיצון בתחום [0, 2π]
y = sin(x) + cos(x)נגזור את הפונקציה, נשווה לאפס ונפתור עבור x בתחום הנתון.
cos(x) - sin(x) = 0(x) - (x) = 0העבירו אגפים: cos(x) = sin(x).
tan(x) = 1(x) = 1פתרו x = π/4 + kπ ובחרו את הערכים שמתאימים לתחום [0, 2π].
רשמו את נקודות הקיצון שהתקבלו.
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
קיבעו את הפונקציה y והתחום [0, 2π].
למה
אלה הנתונים מהם נתחיל את הפתרון.
y = sin(x) + cos(x), x במרווח 0 עד 2π
בחירת שיטה
מה עושים
נחשב את הנגזרת ונמצא את הנקודות שבהן היא שווה לאפס.
למה
נקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס הן מועמדות לנקודות קיצון.
בניית משוואה
מה עושים
נגזור ונשווה לאפס כדי למצוא נקודות קיצון.
למה
פתרון המשוואה נותן את ערכי ה-x של נקודות הקיצון.
נגזרת y' = cos(x) - sin(x). שיוויון ל-0: cos(x) - sin(x) = 0.
נוסחה / הצבה
cos(x) - sin(x) = 0(x) - (x) = 0פתרון
מה עושים
העבירו אגפים: cos(x) = sin(x). חלקו בקוסינוס (אם אפשר).
למה
כדי לקבל משוואה עם טנגנס שניתן לפתור בקלות.
cos(x) = sin(x) ⇒ tan(x) = 1
נוסחה / הצבה
tan(x) = 1(x) = 1חלקו רק אם cos(x) ≠ 0.
פתרון
מה עושים
פתרו x = π/4 + kπ ובחרו את הערכים שמתאימים לתחום [0, 2π].
למה
כדי לוודא שנקודות הקיצון נמצאות בטווח המבוקש.
x = π/4, 5π/4 במסגרת [0, 2π]
תשובה
מה עושים
רשמו את נקודות הקיצון שהתקבלו.
למה
זו תשובת השאלה.
x = π/4 ו- 5π/4