MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · אינטגרלים

ב3. אינטגרל טריגונומטרי

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
12 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א13. אינטגרלים ברמה הבסיסית מציאת פונקציה קדומה

וידאו

א14. אינטגרלים ברמה הבסיסית מציאת פונקציה קדומה

וידאו

ב1. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב2. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב3. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב4. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב5. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב6. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב7. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב8. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב9. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב10. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב11. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ג1. אינטגרל נפח גוף סיבוב

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בהבנת זהויות טריגונומטריות לקוסינוס בריבוע והשימוש בהן לפישוט אינטגרלים של פונקציות בריבוע כמו סינוס בריבוע וקוסינוס בריבוע. דרך הזחה בזהויות אלו למעלה למכפלה, הופכים בעיות אינטגרל מסובכות לבעיות פשוטות יותר.
  • להבין כיצד לבודד ולהשתמש בזהויות קוסינוס בריבוע
  • לשנות זוויות בנוסחאות טריגונומטריות בהתאם למכפלה או חילוק של הערך בזווית
  • להשתמש בזהויות טריגונומטריות לפישוט חישובי אינטגרלים של פונקציות בריבוע
  • לחשב אינטגרל של פונקציות טריגונומטריות לפי נוסחאות מוכרות
  • לזהות ולהסביר מתי זהויות טריגונומטריות עוזרות לפתור אינטגרלים שלא ניתנים לפתרון ישיר
  • זהויות עם קוסינוס בריבוע: הצגת הנוסחה לקוסינוס בריבוע עם שימוש בזהות קוסינוס כפול זווית, והבנת השינוי בזווית כאשר יש מכפלה של הזווית בתוך הפונקציה.
  • השלכת הזהויות על אינטגרלים: איך להשתמש בזהויות אלו כדי לפתור אינטגרלים של פונקציות בריבוע שפוחתות לבעיות שזמינות לפתירה עם החוקים הרגילים.

תרגול קצר

חשב את האינטגרל של cos^2(x)

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל \( \int cos^2(x) dx \) באמצעות הזהות המתאימה.

זהויות טריגונומטריותאינטגרלים בסיסיים

רמז: השתמש בזהות \( cos^2(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos(2x) \) כדי לפשט.

פתרון מלא

תשובה סופית: x/2 + sin(2x)/4 + C

נחליף את \( cos^2(x) \) בנוסחה: \( \int (1/2 + 1/2 cos(2x)) dx = \int 1/2 dx + \int 1/2 cos(2x) dx \). \( \int 1/2 dx = \frac{1}{2}x \). \( \int 1/2 cos(2x) dx = \frac{1}{2} \times \frac{sin(2x)}{2} = \frac{sin(2x)}{4} \). לכן התוצאה היא \( \frac{x}{2} + \frac{sin(2x)}{4} + C \).

חשב את האינטגרל של sin^2(3x)

רמת קושי: בינוני

ממתין

חשב את האינטגרל \( \int sin^2(3x) dx \) בעזרת זהויות טריגונומטריות.

זהויות טריגונומטריותאינטגרלים בינוניים

רמז: השתמש בזהות: \( sin^2(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos(2x) \), עם התאמה ל-3x.

פתרון מלא

תשובה סופית: x/2 - sin(6x)/12 + C

נחליף: \( sin^2(3x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos(6x) \). האינטגרל הוא \( \int (1/2 - 1/2 cos(6x)) dx = \int 1/2 dx - \int 1/2 cos(6x) dx \). \( \int 1/2 dx = \frac{x}{2} \). \( \int 1/2 cos(6x) dx = \frac{1}{2} \times \frac{sin(6x)}{6} = \frac{sin(6x)}{12} \). לכן התוצאה: \( \frac{x}{2} - \frac{sin(6x)}{12} + C \).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

אינטגרל של cos בריבוע של x

פירוק זהות טריגונומטרית לאינטגרציה

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא האינטגרל של cos בריבוע של x לפי x

  2. נתון 1

    פונקציה: cos בריבוע של x

  3. רעיון

    הרעיון המרכזי

    השתמש בזהות טריגונומטרית לפינוי הפונקציה והפיכתה לסכום אינטגרלים פשוטים.

  4. נוסחה

    אוספים את התוצאות: אינטגרל cos^2(x) dx = x/2 + sin(2x)/4 + C.

    int cos^2(x) dx = x/2 + sin(2x)/4 + Ccos^2(x) dx = (x)/(2) + (sin(2x))/(4) + C^(2)(x) dx = (x)/(2) + ((2x))/(4) + C
  5. משוואה

    אנחנו רוצים לחשב את האינטגרל של cos בריבוע של x.

    אנחנו רוצים לחשב את האינטגרל של cos בריבוע של x.

  6. פישוט

    האינטגרל של 1/2 הוא 1/2 x.

    האינטגרל של 1/2 הוא 1/2 x.

  7. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    נכתוב את האינטגרל כמספר חלקים: \int 1/2 dx + \int 1/2 cos(2x) dx.

  8. בדיקה

    בדיקה קצרה

    • האם השתמשת בזהות הנכונה?
    • האם הכפלת וחילקת זוויות נכון?
    • זהירות: שכחת לחלק ב-2 או להכפיל נכונה בזווית הכפולה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נוסחה נתונה

מה עושים

אנחנו רוצים לחשב את האינטגרל של cos בריבוע של x.

למה

זו פונקציה שקשה לאינטגר לולא נשתמש בזהות.

הטענה היא \( אינטגרל \int cos^2(x) dx \).

2

בחירת שיטה

שימוש בזהות

מה עושים

נשתמש בזהות cos בריבוע של x = 1/2 + 1/2 cos 2x.

למה

זה מאפשר פירוק לפונקציות שקל יותר לאינטגר.

זהות המאפשרת להמיר פונקציה בריבוע לפונקציה עם זווית כפולה.

נוסחה / הצבה

cos^2(x) = 1/2 + 1/2 cos(2x)^(2)(x) = (1)/(2) + (1)/(2) (2x)

זכור לפרק לפונקציות מובנות.

3

בניית משוואה

התמרת האינטגרל

מה עושים

נכתוב את האינטגרל כמספר חלקים: \int 1/2 dx + \int 1/2 cos(2x) dx.

למה

פירוק אינטגרל לסכום פשוט יותר לפתירה.

חילקנו את הפונקציה לאינטגרלים פשוטים.

4

פתרון

חישוב כל אינטגרל בנפרד

מה עושים

האינטגרל של 1/2 הוא 1/2 x. האינטגרל של cos(2x) הוא sin(2x)/2, מכפילים ב-1/2 נותן sin(2x)/4.

למה

חישוב אינטגרלים בסיסיים עם פרמטרים.

שימוש בנוסחאות אינטגרל מוכרות לפונקציות מופשטות.

5

תשובה

סכום הפתרונות

מה עושים

אוספים את התוצאות: אינטגרל cos^2(x) dx = x/2 + sin(2x)/4 + C.

למה

קיבלנו ביטוי סופי וידוע לאינטגרל המבוקש.

זוהי התשובה הסופית עם קבוע האינטגרציה.

נוסחה / הצבה

int cos^2(x) dx = x/2 + sin(2x)/4 + Ccos^2(x) dx = (x)/(2) + (sin(2x))/(4) + C^(2)(x) dx = (x)/(2) + ((2x))/(4) + C

זכור להוסיף k קבוע אינטגרציה.

פתרונות כלליים

  • חשב את האינטגרל של cos^2(x): נחליף את \( cos^2(x) \) בנוסחה: \( \int (1/2 + 1/2 cos(2x)) dx = \int 1/2 dx + \int 1/2 cos(2x) dx \). \( \int 1/2 dx = \frac{1}{2}x \). \( \int 1/2 cos(2x) dx = \frac{1}{2} \times \frac{sin(2x)}{2} = \frac{sin(2x)}{4} \). לכן התוצאה היא \( \frac{x}{2} + \frac{sin(2x)}{4} + C \).
  • חשב את האינטגרל של sin^2(3x): נחליף: \( sin^2(3x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos(6x) \). האינטגרל הוא \( \int (1/2 - 1/2 cos(6x)) dx = \int 1/2 dx - \int 1/2 cos(6x) dx \). \( \int 1/2 dx = \frac{x}{2} \). \( \int 1/2 cos(6x) dx = \frac{1}{2} \times \frac{sin(6x)}{6} = \frac{sin(6x)}{12} \). לכן התוצאה: \( \frac{x}{2} - \frac{sin(6x)}{12} + C \).
הפריט הקודםהפריט הבא