וידאו · אינטגרלים
ג1. אינטגרל נפח גוף סיבוב
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור על חישוב נפח גוף סיבוב הנוצר מסיבוב שטח בין עקומות סביב ציר ה-X באמצעות אינטגרלים.
- להבין את מושג נפח גוף סיבוב
- לרשום ולפרש את נוסחת הנפח של גוף סיבוב
- לחשב נפח של גוף סיבוב בין פונקציות נתונות
- ליישם אינטגרלים עם הגבלת תחום וחסמים
- שטח תחת העקומה: חישוב שטח תחת פונקציה בין שני חסמים באמצעות אינטגרלים.
- גוף סיבוב ונפחו: הסבר על סיבוב שטח סביב ציר X ויצירת נפח גוף סיבוב.
- דוגמה לחישוב נפח: חישוב נפח בין שתי פונקציות שורשיות על תחום [0,1]
תרגול קצר
נפח גוף סיבוב בין פונקציות שורש
רמת קושי: קל
חשב את נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח בין הפונקציה y=√(5x) לפונקציה y=√x בתחום מ-0 עד 1 סביב ציר ה-X.
רמז: חשוב להעלות כל פונקציה בריבוע, ואז לחשב את ההפרש ביניהן, להכפיל בπ ולאחר מכן לאינטגרל מ-0 עד 1.
פתרון מלא
תשובה סופית: 2π
הפונקציה העליונה בריבוע היא 5x, התחתונה בריבוע היא x. ההפרש הוא 5x - x = 4x. נפח V = π ∫_0^1 4x dx = π * [2x²]_0^1 = 2π.
דרך הפתרון
חישוב נפח גוף סיבוב - דוגמת שורשים
אינטגרל של נפח גוף סיבוב בין y=√(5x) ל-y=√x
מפת פתרון
- מטרה
למצוא נפח גוף הסיבוב הנוצר
- נתון 1
נתון 1
הפונקציה העליונה: y = שורש של 5x - נתון 2
נתון 2
הפונקציה התחתונה: y = שורש של x - נתון 3
תחום האינטגרציה: מ-0 עד 1
- רעיון
הרעיון המרכזי
להרוס כל פונקציה בריבוע, לחשב את ההפרש, ואז לאינטגרל מ-0 עד 1 כפול π.
- נוסחה
V = π ∫_0^1 ( (√(5x))² - (√x)² ) dx
V = π אינטגרל מ0 עד 1 של (5x - x) dxV = π ∫_0^1 (5x - x) dxV = _0^1 (5x - x) dx - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
y=√(5x) ו-y=√x בתחום 0 עד 1
y=√(5x) ו-y=√x בתחום 0 עד 1
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הפונקציות ותחום האינטגרציה
זיהוי נתונים
הפונקציות ותחום האינטגרציה
מה עושים
y=√(5x) ו-y=√x בתחום 0 עד 1
למה
להגדיר את תחום העבודה והפונקציות המעורבות
קבוע התחום וערכי הפונקציות להמשך חישוב את הפונקציות הקשות פשוטות
2בחירת שיטה
נפח גוף סיבוב באינטגרל
בחירת שיטה
נפח גוף סיבוב באינטגרל
מה עושים
נחשב אינטגרל של ההפרש בריבוע של הפונקציות כפול π
למה
כך מתקבל נפח גוף הסיבוב סביב ציר ה-X
נפח שמתקבל מסכום של דיסקיות סעפתיות לאורך הציר
3בניית משוואה
נוסחת נפח גוף סיבוב
בניית משוואה
נוסחת נפח גוף סיבוב
מה עושים
V = π ∫_0^1 ( (√(5x))² - (√x)² ) dx
למה
נוסחה מוכרת לחישוב נפח גוף סיבוב בין שתי פונקציות
ריבוע הפונקציות מאפשר ביטול השורש
נוסחה / הצבה
V = π אינטגרל מ0 עד 1 של (5x - x) dxV = π ∫_0^1 (5x - x) dxV = _0^1 (5x - x) dxלהעלות פונקציות בריבוע לפני חישוב
4פתרון
פישוט הביטוי באינטגרל
פתרון
פישוט הביטוי באינטגרל
מה עושים
הפרש הפונקציות בריבוע = 4x
למה
כדי לפשט את האינטגרל למינימום ביטויים
הפשטת הביטוי מאפשר חישוב קל ומהיר
נוסחה / הצבה
V = π אינטגרל מ0 עד 1 של 4x dxV = π ∫_0^1 4x dxV = _0^1 4x dxלעשות חיסור ראשוני בין 5x ל-x
5פתרון
ביצוע אינטגרל חישובי
פתרון
ביצוע אינטגרל חישובי
מה עושים
אינטגרל של 4x מ-0 עד 1 הוא 2
למה
אינטגרל של x הוא x בחזקת 2 חלקי 2
חישוב אינטגרל פשוט עם חסמים ברורים
נוסחה / הצבה
V = 2πV = π * 2 = 2πV = 2חשוב לשים לב להוספת הπ לאחר החישוב
6תשובה
נפח גוף הסיבוב הוא
תשובה
נפח גוף הסיבוב הוא
מה עושים
הנפח הוא 2π
למה
סיכום התוצאה הסופית של החישוב
התוצאה נותנת נפח במונחים של π
פתרונות כלליים
- נפח גוף סיבוב בין פונקציות שורש: הפונקציה העליונה בריבוע היא 5x, התחתונה בריבוע היא x. ההפרש הוא 5x - x = 4x. נפח V = π ∫_0^1 4x dx = π * [2x²]_0^1 = 2π.