MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · אינטגרלים

ב5. אינטגרל טריגונומטרי

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%

סיכום שיעור

  • השיעור מסביר כיצד לחשב אינטגרל של פונקציות סינוס וקוסינוס בין נקודות חיתוך הרלוונטיות, על ידי זיהוי תחום האינטגרציה והחלפת הפונקציות הנכונות באינטגרל.
  • להבין כיצד לקבוע את תחום האינטגרציה על בסיס נקודות החיתוך של פונקציות טריגונומטריות
  • לזהות מי מהפונקציות היא סינוס ומי קוסינוס בהתבסס על ערכי התחום
  • לחשב אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות בעזרת נוסחאות אינטגרציה
  • לתרגל הצבת ערכים בפונקציות וחשבון אינטגרלי פשוט
  • זיהוי פונקציות סינוס וקוסינוס: לומדים להבדיל בין פונקציית סינוס לפונקציית קוסינוס באמצעות הצבת ערך אפס ומתבוננות בתוצאה.
  • קביעת תחום האינטגרציה: מזהים את נקודות החיתוך בין הפונקציות ובין הקוסינוס לציר ה-X כמגבלות לאינטגרל.
  • חישוב האינטגרל: מפשטים את האינטגרל באמצעות החלפת פונקציות והצבת ערכי הגבול, מחלקים בפאי לפני חישוב.

תרגול קצר

חישוב אינטגרל של סינוס וקוסינוס בתחום נתון

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל של הפונקציה \( f(x) = \sin(2x) \) בין \( x = \frac{\pi}{8} \) ל-\( \frac{\pi}{4} \).

אינטגרליםטריגונומטריהבסיס

רמז: השתמש בנוסחה לאינטגרל של סינוס, ושים לב לחלק ב-2 מחוץ לסינוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: \frac{\sqrt{2}}{4}

האינטגרל של \( \sin(2x) \) הוא \( -\frac{\cos(2x)}{2} \). לכן, מחשבים: -\frac{\cos(2 * \frac{\pi}{4})}{2} + \frac{\cos(2 * \frac{\pi}{8})}{2} = -\frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{2} + \frac{\cos(\frac{\pi}{4})}{2} = -\frac{0}{2} + \frac{\sqrt{2}/2}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל של sin(2x) בין נקודות חיתוך

דוגמה אינטגרלית פשוטה מאלגברה טריגונומטרית

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערך האינטגרל \( \int_{\pi/8}^{\pi/4} sin(2x) dx \)

  2. נתון 1

    נתון 1

    פונקציה: f(x) = sin(2x)
  3. נתון 2

    תחום אינטגרציה: מ־\( \pi/8 \) עד \( \pi/4 \)

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נשתמש בנוסחה הידועה לאינטגרל של סינוס ונתאים אותה עם הגבולות הנתונים.

  5. נוסחה

    נרשום את הביטוי המדויק של האינטגרל

    - cos(2x) divided by 2-cos(2x)/2-((2x))/(2)
  6. משוואה

    מציבים את הגבולות \( \pi/4 \) ו \( \pi/8 \) בנוסחה

    מציבים את הגבולות \( \pi/4 \) ו \( \pi/8 \) בנוסחה

  7. פישוט

    מחברים את הערכים המספריים לאחר הצבה

    מחברים את הערכים המספריים לאחר הצבה

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    יש לנו את הערך המדויק של האינטגרל

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתונים והבנה

מה עושים

מתבוננים בפונקציה ותחום האינטגרציה

למה

להכין את הבסיס לחישוב הנכון

פונקציה היא sin(2x), התחום הוא מ־\( \pi/8 \) עד \( \pi/4 \)

2

בחירת שיטה

כתיבת נוסחת האינטגרל

מה עושים

מזכירים שאינטגרל sin(ax) dx הוא מינוס קוסינוס(ax) חלקי a

למה

כך ניתן להחליף את הפונקציה באינטגרל שלה

3

בניית משוואה

כתיבת הנוסחה המתמטית

מה עושים

נרשום את הביטוי המדויק של האינטגרל

למה

כדי לבצע חישוב ערכים בהמשך

\(-\frac{\cos(2x)}{2} + C\)

נוסחה / הצבה

- cos(2x) divided by 2-cos(2x)/2-((2x))/(2)
4

פתרון

הצבת גבולות האינטגרל

מה עושים

מציבים את הגבולות \( \pi/4 \) ו \( \pi/8 \) בנוסחה

למה

כדי לחשב את הערך המספרי

\[-\frac{\cos(2 * \pi/4)}{2} + \frac{\cos(2 * \pi/8)}{2}\]

5

פתרון

פישוט חישוב קוסינוס

מה עושים

מחברים את הערכים המספריים לאחר הצבה

למה

חישוב סופי של התוצאה

\[-\frac{\cos(\pi/2)}{2} + \frac{\cos(\pi/4)}{2} = 0 + \frac{\sqrt{2}/2}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}\]

6

תשובה

תוצאה סופית

מה עושים

כעת יש לנו את הערך המדויק של האינטגרל

למה

תלמידים צריכים לדעת את התוצאה

\( \int_{\pi/8}^{\pi/4} sin(2x) dx = \frac{\sqrt{2}}{4} \)

פתרונות כלליים

  • חישוב אינטגרל של סינוס וקוסינוס בתחום נתון: האינטגרל של \( \sin(2x) \) הוא \( -\frac{\cos(2x)}{2} \). לכן, מחשבים: -\frac{\cos(2 * \frac{\pi}{4})}{2} + \frac{\cos(2 * \frac{\pi}{8})}{2} = -\frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{2} + \frac{\cos(\frac{\pi}{4})}{2} = -\frac{0}{2} + \frac{\sqrt{2}/2}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}.