MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · אינטגרלים

א12. אינטגרלים ברמה הבסיסית חישוב שטח

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
7 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א8. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל פונקציה קדומה

וידאו

א9. אינטגרלים ברמה הבסיסית אינטגרל פונקציה קדומה

וידאו

א10. אינטגרלים ברמה הבסיסית חישוב שטח

וידאו

א11. אינטגרלים ברמה הבסיסית חישוב שטח

וידאו

א12. אינטגרלים ברמה הבסיסית חישוב שטח

וידאו

א13. אינטגרלים ברמה הבסיסית מציאת פונקציה קדומה

וידאו

א14. אינטגרלים ברמה הבסיסית מציאת פונקציה קדומה

וידאו

ב1. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב2. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב3. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב4. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב5. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב6. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב7. אינטגרל טריגונומטרי

סיכום שיעור

  • שיעור זה עוסק בחישוב שטחים מוגבלים בין שתי פונקציות באמצעות אינטגרלים, כולל זיהוי חסמי השטח וחישוב באמצעות פורמולות האינטגרל.
  • להבין כיצד לאפיין שטח מוגבל בין שתי פונקציות.
  • לזהות את הפונקציה העליונה והתחתונה בתחום נתון.
  • לחשב נקודות חיתוך בין פונקציות להגדיר חסמים אינטגרליים.
  • לחשב אינטגרלים של פונקציות שורש וחזקות פשוטות.
  • לרכיב אינטגרלים חלקיים במקרה של החלפת הפונקציה העליונה.
  • אפיון השטח: הבנת הגדרת תחום השטח בין שתי פונקציות על ידי זיהוי הפונקציה העליונה והתחתונה והגדרת חסמי האינטגרציה.
  • חישוב נקודת החיתוך: חישוב נקודת החיתוך בין שתי הפונקציות כדי לקבוע את חסם האינטגרל הימני.
  • חישוב אינטגרל שטח: ביצוע אינטגרל לפונקציה העליונה פחות התחתונה בתחום שהוגדר בין החסמים, תוך שימוש בפורמולות מתאימות לשורש ולחזקות של המשתנה.
  • פיצול האינטגרל במקרים של שינוי הפונקציה העליונה: כאשר הפונקציה העליונה משתנה, יש לפצל את האינטגרל לשני אינטגרלים בנפרד ולקבל את הסכום של שני השטחים.

תרגול קצר

חישוב שטח בין פונקציות פשוטות

רמת קושי: קל

ממתין

נתונות הפונקציות y = שורש x ו-y = 5 - x. חשב את השטח בין שתי הפונקציות בתחום ש-0 ≤ x ≤ 2.

אינטגרליםשטח בין פונקציותבסיס

רמז: מצא את נקודת החיתוך וטפל בפונקציה עליונה ותחתונה.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח = 4.666

נקודת החיתוך היא בx=2. בתחום זה, הפונקציה עליונה היא 5 - x, התחתונה היא שורש x. השטח הוא אינטגרל מ-0 עד 2 של (5 - x - שורש x) dx. מחשבים כל אינטגרל לחוד ומחברים.

חישוב שטח עם חילופי פונקציה עליונה

רמת קושי: בינוני

ממתין

בין הפונקציות y = שורש x ו-y = 5 - x קיימת נקודת חיתוך ב-x=2.5. חשב את שטח השטח בתחום 0 ≤ x ≤ 5 כאשר הפונקציה העליונה משתנה.

אינטגרליםשטח בין פונקציותבינוני

רמז: חלק את האינטגרל משני תחומים: 0 עד 2.5 ו-2.5 עד 5, בהתחשב בפונקציה העליונה בכל תחום.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח כולל = 7.0 בערך

תחילה חשבו אינטגרל מ-0 עד 2.5 של (5-x - שורש x) dx, לאחר מכן אינטגרל מ-2.5 עד 5 של (שורש x - 0) dx (הפונקציה התחתונה משתנה). סכמו את שתי התוצאות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

אינטגרלים - חישוב שטח בין פונקציות

חישוב השטח בין y = שורש x ל-y = 5 - x בתחום 0 עד 2.5

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא שטח השטח בין שתי הפונקציות בתחום הנתון

  2. נתון 1

    נתון 1

    y = שורש x
  3. נתון 2

    נתון 2

    y = 5 - x
  4. נתון 3

    תחום האינטגרציה: מ-0 עד 2.5

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נמצא את הפונקציה העליונה והתחתונה, נקבל את גבולות האינטגרל באמצעות נקודת החיתוך, ואז נחשב את

  6. נוסחה

    השטח הוא האינטגרל מ־0 עד 2.5 של (5 - x) פחות (שורש x) dx.

    S = integral from 0 to 2.5 of (5 - x - sqrt(x)) dxS = ∫_0^(2.5) [(5 - x) - x^(1/2)] dxS = _0^(2.5) (5 - x - x) dx
  7. משוואה

    בין 0 ל-2.5 הפונקציה y = 5 - x היא העליונה, y = שורש x היא תחתונה.

    בין 0 ל-2.5 הפונקציה y = 5 - x היא העליונה, y = שורש x היא תחתונה.

  8. פישוט

    אינטגרל של 5-x הוא 5x - x^2/2; אינטגרל של שורש x הוא x^{3/2} /(3/2).

    אינטגרל של 5-x הוא 5x - x^2/2; אינטגרל של שורש x הוא x^{3/2} /(3/2).

    integral of (5 - x) dx = 5x - x squared over 2

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת הפונקציות והתחום

מה עושים

נתונות שתי הפונקציות y = שורש x ו-y = 5 - x בתחום 0 עד 2.5.

למה

עלינו להגדיר את השטח שנרצה לחשב.

הפונקציה y = שורש x היא התחתונה ו-y = 5 - x היא העליונה בתחום זה.

לשים לב שהתחום מוגדר מ-0 עד 2.5.

2

בחירת שיטה

מציאת נקודת החיתוך

מה עושים

משווים בין הפונקציות: שורש x = 5 - x.

למה

נקודת החיתוך תקבע את הגבול הימני לאינטגרל.

בשורש מתרומם מ-0 ולכן הפתרון בחישוב שווה ל-x=2.5.

נוסחה / הצבה

x = 5 - x

פתור את המשוואה כדי למצוא את x.

3

בניית משוואה

קביעת הפונקציה העליונה והתחתונה

מה עושים

בין 0 ל-2.5 הפונקציה y = 5 - x היא העליונה, y = שורש x היא תחתונה.

למה

על מנת לחשב את השטח יש לחסר בין עליונה לתחתונה.

שימו לב לאיזה פונקציה שייכת כל משוואה בתחום.

4

פתרון

כתיבת הביטוי האינטגרלי

מה עושים

השטח הוא האינטגרל מ־0 עד 2.5 של (5 - x) פחות (שורש x) dx.

למה

באופן כללי, שטח בין פונקציות הוא אינטגרל של ההפרש בין הפונקציה העליונה לתחתונה.

נוסחה / הצבה

S = integral from 0 to 2.5 of (5 - x - sqrt(x)) dxS = ∫_0^(2.5) [(5 - x) - x^(1/2)] dxS = _0^(2.5) (5 - x - x) dx

שימו לב להפרש בין הפונקציות.

5

פתרון

חישוב אינטגרלים של כל פונקציה

מה עושים

אינטגרל של 5-x הוא 5x - x^2/2; אינטגרל של שורש x הוא x^{3/2} /(3/2).

למה

חישוב אינטגרלים מפורטים של כל חלק בנפרד כדי לקבל תוצאה מדויקת.

נוסחה / הצבה

integral of (5 - x) dx = 5x - x squared over 2integral of x to the 1/2 dx = 2 over 3 times x to the 3/2∫(5 - x) dx = 5x - x^2/2∫x^(1/2) dx = (2/3)x^(3/2)(5-x) dx = 5x - (x^2)/(2)

חישוב אינטגרל מתקדם לשרשרת חזקות ושורש.

6

פתרון

חישוב ערך האינטגרל בחסמים

מה עושים

מציבים את הגבולות בחישוב 5x - x^2/2 פחות (2/3) x^{3/2} מ-0 עד 2.5.

למה

חישוב ערך השטח על אף הגבולות.

השתמש במחשבון עבור השמה מדויקת.

פתרונות כלליים

  • חישוב שטח בין פונקציות פשוטות: נקודת החיתוך היא בx=2. בתחום זה, הפונקציה עליונה היא 5 - x, התחתונה היא שורש x. השטח הוא אינטגרל מ-0 עד 2 של (5 - x - שורש x) dx. מחשבים כל אינטגרל לחוד ומחברים.
  • חישוב שטח עם חילופי פונקציה עליונה: תחילה חשבו אינטגרל מ-0 עד 2.5 של (5-x - שורש x) dx, לאחר מכן אינטגרל מ-2.5 עד 5 של (שורש x - 0) dx (הפונקציה התחתונה משתנה). סכמו את שתי התוצאות.
הפריט הקודםהפריט הבא