שיעור זה עוסק במשיקים למעגל, בעיקרון שהרדיוס מאונך למשיק בנקודת האשקה, וכן במשפטים הנוגעים לשוויון אורכי משיקים מנקודה חיצונית, ודלתונים מיוחדים הנוצרים במשולשי המשיק.
להבין את גדרות המשיק למעגל ונקודת האשקה
להכיר את משפט השוויון בין אורכי משיקים מנקודה חיצונית
להבין את תכונות הדלתון הנוצר על ידי קווים מקרבים למעגל
לזהות מתי רדיוס הוא קוטר במעגל חסום הדלתון
המשיק למעגל: המשיק למעגל הוא קו שנוגע במעגל בדיוק בנקודה אחת, ונקודת המגע נקראת נקודת האשקה. הרדיוס הנקשר לנקודה זו מאונך למשיק.
משיקים מנקודה חיצונית: כאשר מנקודה חיצונית למעגל יוצאים שני משיקים למעגל, אורכי המשיקים שווים. ישנן חפיפות בין המשולשים שנוצרים על ידי קטעים מהרדיוס והמשיקים.
דלתון מיוחד במעגל: הדלתון שנוצר מאורכי המשיקים והקטעים למרכז המעגל הוא בר חסימה במעגל חדש, בו הקוטר הוא אחד הקטעים בדלתון, והרדיוס של מעגל זה הוא נקודת האמצע של הקוטר.

תרגול קצר

מציאת אורך משיק מנקודה חיצונית למעגל

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה נקודה חיצונית P למעגל עם מרכז O ורדיוס r. שני משיקים PA ו-PB יוצאים מהנקודה P ונוגעים במעגל בנקודות A ו-B בהתאמה. הוכח כי אורכי הקטעים PA ו-PB שווים.

גיאומטריהמשיקים למעגל

רמז: השתמש בחפיפת משולשים המיוצרים על ידי רדיוסים וקטעי המשיק

פתרון מלא

תשובה סופית: AP = BP

נסמן את נקודת המרכז O, ונחבר את הקטעים OA ו-OB לרדיוס המעגל. מאחר ש-PA ו-PB הם משיקים, זוויות בין הרדיוס לנקודות האשקה ורצועות המשיקים הן ישרות. כך נוצרות שתי משולשים שווה-שוקיים עם זווית ישרה. לפי משפט חפיפת משולשים (צלע-זווית-צלע) הם חופפים ולכן AP=BP.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

הוכחת שוויון אורכי המשיקים מנקודה חיצונית

משיק למעגל ונקודת אשקה

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הוכחת שוויון אורכי הקטעים PA ו-PB
נתון 1
נקודה חיצונית P למעגל
נתון 2
מעגל עם מרכז O ורדיוס r
נתון 3
שני משיקים PA ו-PB מנקודה P לנקודות A ו-B על המעגל
רעיון
הרעיון המרכזי
הוכחת חפיפת שני משולשים נוצרים מהרדיוס והמשיקים כדי להראות שהאורכים שווים.
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
חבר OA ל-PA ו-OB ל-PB כדי להגדיר משולשי מחקר
חבר OA ל-PA ו-OB ל-PB כדי להגדיר משולשי מחקר
פישוט
הראה כי המשולשים שווים לפי צלע-זווית-צלע
הראה כי המשולשים שווים לפי צלע-זווית-צלע

זוהי מטרת ההוכחה

לכן אורכי המשיקים שווים

פתרונות כלליים

מציאת אורך משיק מנקודה חיצונית למעגל: נסמן את נקודת המרכז O, ונחבר את הקטעים OA ו-OB לרדיוס המעגל. מאחר ש-PA ו-PB הם משיקים, זוויות בין הרדיוס לנקודות האשקה ורצועות המשיקים הן ישרות. כך נוצרות שתי משולשים שווה-שוקיים עם זווית ישרה. לפי משפט חפיפת משולשים (צלע-זווית-צלע) הם חופפים ולכן AP=BP.

הפריט הקודם הפריט הבא

ה4. גיאומטריה המעגל

ניווט לפי נושאים

גיאומטריה

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא הוכחת שוויון אורכי הקטעים PA ו-PB

נקודה חיצונית P למעגל

מעגל עם מרכז O ורדיוס r

שני משיקים PA ו-PB מנקודה P לנקודות A ו-B על המעגל

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

חבר OA ל-PA ו-OB ל-PB כדי להגדיר משולשי מחקר

הראה כי המשולשים שווים לפי צלע-זווית-צלע

פתרון מפורט

הגדרת הנקודות והקווים

זווית בין רדיוס למשיק היא ישרה

חיבור קטעים ליצירת משולשים

הוכחת חפיפת המשולשים

תוצאה שווה

פתרונות כלליים