MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · גיאומטריה

ו4. פרופורציה ודמיון משפטי אוקלידס

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
31 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ה7. גיאומטריה המעגל

וידאו

ו1. פרופורציה ודמיון משפט תאלס

וידאו

ו2. פרופורציה ודמיון משפט חוצה זווית

וידאו

ו3. פרופורציה ודמיון משפטי דמיון

וידאו

ו4. פרופורציה ודמיון משפטי אוקלידס

וידאו

ו5. פרופורציה ודמיון מפגש גבהים

וידאו

ו6. פרופורציה ודמיון פרופורציות במעגל

וידאו

ו7. פרופורציה ודמיון

וידאו

ו8. פרופורציה ודמיון

וידאו

ו9. פרופורציה ודמיון

וידאו

ו10. פרופורציה ודמיון

וידאו

ו11. פרופורציה ודמיון

סיכום שיעור

  • שיעור זה מתמקד בהוכחת משפטי אוקלידס בגיאומטריה של משולש ישר זווית עם גובה ליתר באמצעות דמיון משולשים ופרופורציות.
  • להבין ולהוכיח את משפט אוקלידס הראשון - גובה ליתר בריבוע שווה למכפלת היתרי הניצבים.
  • להבין ולהוכיח את משפט אוקלידס השני - צלע במכפלת היתר על היתר.
  • להשתמש בדמיון משולשים לזיהוי פרופורציות והסקת מסקנות גיאומטריות.
  • מבוא ומשולש ישר זווית עם גובה ליתר: הצגת המשולש ומרכיביו - זווית אלפה, גובה היתר, וחשיבות הדמיון במשולשים הקטנים הנוצרים.
  • משפט אוקלידס הראשון - גובה היתר: ההוכחה כי הריבוע של הגובה ליתר שווה למכפלת שני חלקי היתר הנוצרים בגובה.
  • משפט אוקלידס השני - צלעות במכפלת היתר על היתר: המשפטים הנוספים המתבססים על דמיון בין המשולש הכולל לממשולשים הקטנים.

תרגול קצר

הוכחת משפט אוקלידס לגובה ליתר

רמת קושי: קל

ממתין

במשולש ישר זווית ABC שבו CD הוא הגובה ליתר AB, הוכח כי CD בריבוע שווה ל-AD כפול DB.

משפט אוקלידסגובה ליתרדמיון משולשים

רמז: השתמש בדמיון בין המשולשים ADC ו-CDB כדי לקבוע פרופורציות.

פתרון מלא

תשובה סופית: CD² = AD × DB

משולשים ADC ו-CDB דומים בזוויות. לכן, הפרופורציות הן AD ל-CD שווה ל-CD ל-DB. מהפרופורציות מתקבל כי CD בריבוע שווה ל-AD כפול DB.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

הוכחת משפט אוקלידס לגובה ליתר

הגובה ליתר בריבוע שווה למכפלת היתרי הניצבים

8 תחנות4 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא הוכח ש-CD בריבוע שווה ל-AD כפול DB

  2. נתון 1

    משולש ABC ישר זווית ב-90 מעלות ב-C

  3. נתון 2

    CD הוא הגובה ליתר AB

  4. נתון 3

    הנקודות D מחלקת את היתר AB ל-AD ו-DB

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להראות דמיון בין המשולשים ADC ו-CDB ולשאוב פרופורציות מהדמיון.

  6. נוסחה

    כיוון שהמשולשים דומים, יחס AD ל-CD שווה ל-CD ל-DB.

    AD divided by CD equals CD divided by DBAD/CD = CD/DB(AD)/(CD) = (CD)/(DB)
  7. משוואה

    כופלים את שני אגפי המשוואה ב-CD כפול DB

    כופלים את שני אגפי המשוואה ב-CD כפול DB

    CD squared equals AD times DBCD² = AD × DBCD^(2) = AD x DB
  8. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

המשולש עם גובה ליתר

מה עושים

יש משולש ישר זווית עם גובה ליתר CD שמחלק את היתר AB לנקודות AD ו-DB.

למה

הגדרת הנתונים מטילה את המסגרת להוכחה.

המשולש ישר הזווית והגובה ליתר מחלק את היתר לנקודות D.

2

בחירת שיטה

זיהוי משולשים דומים

מה עושים

מזהים את המשולשים ADC ו-CDB כמשולשים דומים בזכות זוויות זהות.

למה

דמיון המשולשים מאפשר לחלץ יחס פרופורציוני בין צלעות.

המשולשים שותפים בזווית הישרה ויש להם זוויות אלפה וחושבים על דמיון זווית-זווית.

3

בניית משוואה

קביעת יחס פרופורציוני בין הצלעות

מה עושים

כיוון שהמשולשים דומים, יחס AD ל-CD שווה ל-CD ל-DB.

למה

פרופורציות נובעות מדמיון המשולשים ומאפשרות בניית משוואה.

משווים בין צלעות ביחס של שני המשולשים הדומים.

נוסחה / הצבה

AD divided by CD equals CD divided by DBAD/CD = CD/DB(AD)/(CD) = (CD)/(DB)

שימו לב לסדר הצלעות בפרופורציה.

4

פתרון

השגת נוסחת משפט אוקלידס

מה עושים

כופלים את שני אגפי המשוואה ב-CD כפול DB

למה

כך מתקבלת משוואה עם CD בריבוע בצד אחד.

מכפילים ומקבלים CD² = AD × DB.

נוסחה / הצבה

CD squared equals AD times DBCD² = AD × DBCD^(2) = AD x DB

נוסחה זו היא משפט אוקלידס לגובה ליתר.

פתרונות כלליים

  • הוכחת משפט אוקלידס לגובה ליתר: משולשים ADC ו-CDB דומים בזוויות. לכן, הפרופורציות הן AD ל-CD שווה ל-CD ל-DB. מהפרופורציות מתקבל כי CD בריבוע שווה ל-AD כפול DB.
הפריט הקודםהפריט הבא