שיעור זה עוסק בתכונות מיתרים ומעגלים, בין היתר הוכחה ששתי זוויות היקפיות שוות כאשר הן נשענות על אותה קשת, שימוש באנכים למיתרים וכיווני הוכחות במשולשים למיניהם.
להבין מתי אפשר לחסום מרובע במעגל לפי סכום זוויות
להבין ששתי זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
להכיר את המושג אנך למיתר והשפעתו על המשולש והמיתר
להבין ולזהות חפיפות משולשים וצורות דלתון במעגל
לדעת להוכיח ש שני מיתרים שווים אם המרחקים למרכז המעגל שווים
להשתמש במשפטים על מיתרים ואנכים כדי לפתור בעיות גיאומטריות במעגל
הוכחת שוויון זוויות במרובע חסום במעגל: הסקנו שמרובע ששתי זוויות נגדיות בו סוכום 180 מעלות ניתן לחסום במעגל. מזה נובע ששתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותו מיתר שוות.
תכונות של אנך למיתר במעגל: אנך למיתר מהמוצא במרכז המעגל חוצה את המיתר, משמש גובה, תיכון וזווית במשולש שנוצר, ומאפשר להראות חפיפות משולשים.
משפטים על מיתרים ומרחקים במעגל: אם המרחקים ממרכז המעגל למיתרים שווים, אז המיתרים שווים באורכם ולהפך. זה מתקשר לחפיפויות במשולשים ועוזר לפתור בעיות במעגל.

תרגול קצר

הוכחת שוויון זוויות היקפיות במעגל

רמת קושי: קל

ממתין

נתון מרובע ABCD שבו הזוויות ב-A ו-C הן בהתאמה 70 ו-110 מעלות. הוכח שזווית DAC שווה לזווית DBC במעגל החוסם את המרובע.

מעגלזוויות היקפיותמרובע חסום

רמז: בדוק האם ניתן לחסום את המרובע במעגל בעזרת סכום הזוויות ואז נסה למצוא זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת.

פתרון מלא

תשובה סופית: זווית DAC שווה לזווית DBC

1. סכום הזוויות ב-A ו-C הוא 70 + 110 = 180, לכן אפשר לחסום את המרובע ABCD במעגל. 2. זוויות DAC ו-DBC הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת במעגל. 3. לפי תכונת הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת, זוויות אלה שוות. 4. מסקנה: זווית DAC = זווית DBC.

הוכח ששני מיתרים שווים במעגל

רמת קושי: בינוני

ממתין

במעגל נתונים שני מיתרים M1 ו-M2 שמרחקם מהמרכז שווה. הוכח שהמיתרים שווים באורכם.

מיתריםחפיפותמעגל

רמז: הורדת אנך למיתרים מהמרכז יוצרת משולשים חופפים. השתמש במשפט חפיפה צלע, צלע, זווית.

פתרון מלא

תשובה סופית: המיתרים שווים באורכם

1. הורד אנך למיתר ממרכז המעגל לכל אחד מהמיתרים. 2. האנכים חוצים את המיתרים ולכן מחלקים כל מיתר לשני חלקים שווים. 3. המרחקים מהמרכז אנכים למיתרים שווים לפי הנתון. 4. המשולשים שנוצרו הם משולשים ישרי זווית עם רדיוסים שנשמרים. 5. לפי צלע, צלע, זווית המשולשים חופפים. 6. לכן, המיתרים שווים באורכם.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

הוכחת שוויון זוויות היקפיות במרובע חסום במעגל

הוכח ששתי זוויות היקפיות שוות במרובע ABCD

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הוכח שזווית DAC שווה לזווית DBC
נתון 1
מרובע ABCD
נתון 2
נתון 2
זווית ב-A = 70 מעלות
נתון 3
נתון 3
זווית ב-C = 110 מעלות
רעיון
הרעיון המרכזי
נבדוק שחסימת המרובע במעגל מתקיימת ונשתמש בתכונת זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת להוכחת
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
הן נשענות על אותה קשת במעגל
הן נשענות על אותה קשת במעגל
פישוט
קבע שזווית DAC = זווית DBC
קבע שזווית DAC = זווית DBC

נציין את מסקנת השאלה.

פתרונות כלליים

הוכחת שוויון זוויות היקפיות במעגל: 1. סכום הזוויות ב-A ו-C הוא 70 + 110 = 180, לכן אפשר לחסום את המרובע ABCD במעגל. 2. זוויות DAC ו-DBC הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת במעגל. 3. לפי תכונת הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת, זוויות אלה שוות. 4. מסקנה: זווית DAC = זווית DBC.
הוכח ששני מיתרים שווים במעגל: 1. הורד אנך למיתר ממרכז המעגל לכל אחד מהמיתרים. 2. האנכים חוצים את המיתרים ולכן מחלקים כל מיתר לשני חלקים שווים. 3. המרחקים מהמרכז אנכים למיתרים שווים לפי הנתון. 4. המשולשים שנוצרו הם משולשים ישרי זווית עם רדיוסים שנשמרים. 5. לפי צלע, צלע, זווית המשולשים חופפים. 6. לכן, המיתרים שווים באורכם.

הפריט הקודם הפריט הבא

ה3. גיאומטריה המעגל

ניווט לפי נושאים

גיאומטריה

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא הוכח שזווית DAC שווה לזווית DBC

מרובע ABCD

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

הן נשענות על אותה קשת במעגל

קבע שזווית DAC = זווית DBC

פתרון מפורט

בדוק סכום זוויות נגדיות במרובע

קבע חסימת המעגל למרובע

זוויות DAC ו-DBC הן היקפיות

השווה בין הזוויות

נסכם את התוצאה

פתרונות כלליים