שיעור זה עוסק במשפטים מרכזיים בגיאומטריה של המעגל, כולל זוויות מרכזיות והיקפיות, מיתרים, קשתות, ומשפטי מרובעים חסומים במעגל. נלמדים חישובים של זוויות וקשרים בין המונחים השונים במעגל.
להבין ולהשתמש במשפט שזווית מרכזית גדולה פי שניים מהזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת
לזהות ולחשב זוויות היקפיות הנשענות על קוטר
להבין את משמעות התיכון ליתר במשולש ישר זווית
להוכיח שוויון משולשים וזוויות באמצעות רדיוסים ומיתרים במעגל
להבין ולהשתמש במשפט סכום הזוויות הנגדיות במרובע חסום במעגל וליישמו לפתור בעיות
זווית מרכזית וזווית היקפית: הסבר על הקשר בין זווית מרכזית לזווית היקפית הנשענות על אותה קשת: הזווית המרכזית גדולה פי שניים מהזווית ההיקפית.
זווית היקפית הנשענת על קוטר: משפט שזווית היקפית הנשענת על הקוטר היא זווית ישרה של 90 מעלות.
משפט התיכון ליתר: במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה למחצית אורך היתר. משפט חשוב בזיהוי תכונות במשולשים במעגל.
שוויון משולשים בזכות רדיוסים ומיתרים: הסבר הוכחה לשוויון משולשים במעגל ע"י שימוש בזוויות שוות, רדיוסים שווים, ומיתרים שווים.

תרגול קצר

חישוב זווית היקפית במעגל

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה זווית מרכזית במעגל שגודלה 80 מעלות. מצא את גודל הזווית ההיקפית שנשענת על אותה הקשת.

מעגלזווית מרכזיתזווית היקפית

רמז: הזווית המרכזית שווה כפול הזווית ההיקפית.

פתרון מלא

תשובה סופית: 40 מעלות

הזווית המרכזית = 2 × הזווית ההיקפית לכן הזווית ההיקפית = 80 ÷ 2 = 40 מעלות.

זווית היקפית הנשענת על קוטר

רמת קושי: בינוני

ממתין

במעגל, זווית היקפית הנשענת על הקוטר היא ?

מעגלזווית היקפיתקוטר

רמז: משפט הידוע שזווית היקפית הנשענת על הקוטר היא זווית ישרה.

פתרון מלא

תשובה סופית: 90 מעלות

על פי המשפט, הזווית ההיקפית הנשענת על הקוטר שווה 90 מעלות.

חישוב זווית במעגל עם מיתרים ושוויון משולשים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתון מעגל עם שתי זוויות היקפיות שוות הנשענות על אותה קשת. אם הזווית ההיקפית היא 80 מעלות, חשב את הזווית ההיקפית השנייה הנשענת על הקשת השלימה במעגל.

מעגלזווית היקפיתחישוב קשת

רמז: חישוב הקשת השלימה והזווית ההיקפית הנשענת עליה היא מחצית מהקשת.

פתרון מלא

תשובה סופית: 140 מעלות

אורך הקשת השלימה = 360 - 80 = 280 מעלות. הזווית ההיקפית הנשענת על הקשת השלימה = חצי מהקשת = 140 מעלות.

זווית במרובע חסום במעגל

רמת קושי: בגרות

ממתין

במרובע חסום במעגל, זווית אחת היא 70 מעלות. חשב את הזווית הנגדית לה.

מרובע חסוםמעגלזוויות

רמז: סכום הזוויות הנגדיות במרובע חסום במעגל שווה ל-180 מעלות.

פתרון מלא

תשובה סופית: 110 מעלות

הזווית הנגדית = 180 - 70 = 110 מעלות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: מציאת זווית היקפית במעגל

זווית מרכזית וזווית היקפית על אותה קשת

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא גודל הזווית ההיקפית
נתון 1
נתון 1
זווית מרכזית = 80 מעלות
נתון 2
הזווית ההיקפית נשענת על אותה הקשת
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש במשפט הקובע שהזווית המרכזית שווה כפול הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת.
נוסחה
80 = 2 × זווית היקפית.
80 = 2 × הזווית ההיקפית80 = 2x
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
חלק את 80 ב-2 כדי לקבל את הזווית ההיקפית.
חלק את 80 ב-2 כדי לקבל את הזווית ההיקפית.
זווית היקפית = 80 מחולק ל-2זווית היקפית = 80 ÷ 2
תוצאה
מסיימים בתשובה
גודל הזווית ההיקפית הוא 40 מעלות.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדר את הזווית המרכזית והיקפית

מה עושים

ידוע שהזווית המרכזית היא 80 מעלות והזווית ההיקפית נשענת על אותה הקשת.

למה

זו נקודת ההתחלה לחישוב הזווית ההיקפית.

הזווית המרכזית = 80 מעלות; אנו רוצים למצוא את הזווית ההיקפית על אותה קשת.

בחירת שיטה

השתמש במשפט זווית מרכזית-היקפית

מה עושים

הזווית המרכזית שווה פעמיים הזווית ההיקפית.

למה

משפט מוכר בגיאומטרית מעגלים.

זווית מרכזית = 2 × זווית היקפית.

נוסחה / הצבה

זווית מרכזית = 2 × זווית היקפיתθ_m = 2θ_i

זכור שמדובר על אותה קשת.

בניית משוואה

רשום את המשוואה המתמטית

מה עושים

80 = 2 × זווית היקפית.

למה

מכאן נוכל למצוא את הזווית ההיקפית.

הזווית המרכזית ידועה, הזווית ההיקפית לא ידועה.

נוסחה / הצבה

80 = 2 × הזווית ההיקפית80 = 2x

x היא הזווית ההיקפית.

פתרון

חשב את הזווית ההיקפית

מה עושים

חלק את 80 ב-2 כדי לקבל את הזווית ההיקפית.

למה

פשוט פתרון של משוואה לינארית.

זווית היקפית = 80 ÷ 2 = 40 מעלות.

נוסחה / הצבה

זווית היקפית = 80 מחולק ל-2זווית היקפית = 80 ÷ 2x = 80 2

זכור את הנוסחה לפיצול כפולות.

תשובה

התשובה הסופית

מה עושים

גודל הזווית ההיקפית הוא 40 מעלות.

למה

הזווית ההיקפית היא חצי מהזווית המרכזית על אותה קשת.

תוצאה סופית לפתרון התרגיל.

פתרונות כלליים

חישוב זווית היקפית במעגל: הזווית המרכזית = 2 × הזווית ההיקפית לכן הזווית ההיקפית = 80 ÷ 2 = 40 מעלות.
זווית היקפית הנשענת על קוטר: על פי המשפט, הזווית ההיקפית הנשענת על הקוטר שווה 90 מעלות.
חישוב זווית במעגל עם מיתרים ושוויון משולשים: אורך הקשת השלימה = 360 - 80 = 280 מעלות. הזווית ההיקפית הנשענת על הקשת השלימה = חצי מהקשת = 140 מעלות.
זווית במרובע חסום במעגל: הזווית הנגדית = 180 - 70 = 110 מעלות.

הפריט הקודם הפריט הבא

ה2. גיאומטריה המעגל

ניווט לפי נושאים

גיאומטריה

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא גודל הזווית ההיקפית

נתון 1

הזווית ההיקפית נשענת על אותה הקשת

הרעיון המרכזי

80 = 2 × זווית היקפית.

נבנה משוואה

חלק את 80 ב-2 כדי לקבל את הזווית ההיקפית.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדר את הזווית המרכזית והיקפית

השתמש במשפט זווית מרכזית-היקפית

רשום את המשוואה המתמטית

חשב את הזווית ההיקפית

התשובה הסופית

פתרונות כלליים