השיעור עוסק בתכונות של תרשש וטרפז, עם דגש על חפיפות משולשים, שוויון זוויות וקטעי אלכסונים שמשפיעים על תכונות המרובע. נלמד כיצד האלכסונים יוצרים תכונות חשובות שאינן משפטים מוכרים, ונכיר משושים עליון ותחתון שנוצרים מהאלכסונים.
להבין תכונות של אלכסונים בתרשש וטרפז
להצליב בין חפיפות משולשים לזוויות שוות באלכסונים
להכיר את מושגי המשושים העליון והתחתון הנוצרים מאלכסונים
לדעת להסיק ממידע הנתון תכונות חשובות במרובע, גם ללא משפטים מוגדרים
תכונות הזוויות בבסיס התרשש: זוויות הבסיס בטרפז שווים זו לזו כאשר הצלחנו להראות חפיפות משולשים עם צלעות משותפות.
חפיפות משולשים ואלכסונים בתרשש: האלכסונים יוצרים חפיפות בין שני זוגות משולשים, וכתוצאה מכך צלעות וזוויות שוות.
תכונות משושים עליון ותחתון: האלכסונים יוצרים שני משושים שווי שוקעים, העליון והתחתון, לא חוצים זה את זה אלא יוצרים קטעים שווים.

תרגול קצר

זיהוי זוויות שוות בטרפז שווה שוקיים

רמת קושי: קל

ממתין

בתרשש שווה שוקיים, זוויות הבסיס הן:

טרפזזוויותחפיפות

רמז: הזוויות שמול כל בסיס שוות בזכות חפיפות משולשים.

פתרון מלא

תשובה סופית: זוויות הבסיס שוות זו לזו

זוויות הבסיס שוות זו לזו כיוון שהמשולשים שמיוצרים על ידי האלכסונים חופפים.

הוכחת שוויון קטעים באלכסוני תרשש

רמת קושי: בינוני

ממתין

הוכח שבתרשש, הקטעים PA ו-TB שווים.

חפיפותאלכסוניםתרשש

רמז: שימוש בחפיפות משולשים והשוואת זוויות שוות.

פתרון מלא

תשובה סופית: PA = TB

משולש ABC חופף למשולש BDC. לכן, לפי חפיפות, PA=TB.

הוכחת תכונת המשושים בתרשש אלכסוני

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הסבר מדוע משש עליון ומשש תחתון הם שווי שוקעים, והצביע על הקשר לתכונות האלכסונים.

משושיםתרששחפיפותאלכסונים

רמז: בחן את תכונות החפיפות והקטעים שנוצרים מהאלכסונים; הם לא חוצים אלא יוצרים קטעים שווים.

פתרון מלא

תשובה סופית: משש עליון ומשש תחתון הם שווי שוקעים עקב חפיפות וקטעי אלכסון שווים בתרשש

האלכסונים יוצרים שני משושים שכל צלע בהם שווה בהתאם לחפיפות המשולשים ולזוויות השוות. משושים אלה שווי שוקעים ומרכז התכונה הוא שאין חיתוך בין האלכסונים בחלקים אלו.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

הוכחת שוויון הקטעים PA ו-TB בתרשש

הזוויות והמשולשים שהובילו למסקנה

8 תחנות4 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הקטעים PA ו-TB שווים
נתון 1
תרשש ABCD עם אלכסונים AC ו-BD
נתון 2
משולשים ABC ו-BDC חופפים
נתון 3
זוויות C1 ו-D1 שוות
רעיון
הרעיון המרכזי
נראה שהמשולשים שנוצרים מהאלכסונים חופפים, מכאן שוויון הקטעים PA ו-TB.
נוסחה
PA שווה ל-TB
PA = TB
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

משולשים חופפים

מה עושים

משולש ABC חופף למשולש BDC

למה

חפיפה גוררת שוויון בין צלעות וזוויות מתאימות

בחירת שיטה

חפיפת משולשים מחייבת שוויון קטעים

מה עושים

המשולשים הפונקציונליים מוחפים זה את זה

למה

צלעות מול זוויות שוות

בניית משוואה

שוויון קטעים

מה עושים

PA שווה ל-TB

למה

מתוך חפיפות המשולשים

נוסחה / הצבה

PA = TB

תשובה

סיכום המסקנה

מה עושים

הגענו לשוויון הקטעים PA ו-TB

למה

זוהי תוצאה ישירה מחפיפת המשולשים

פתרונות כלליים

זיהוי זוויות שוות בטרפז שווה שוקיים: זוויות הבסיס שוות זו לזו כיוון שהמשולשים שמיוצרים על ידי האלכסונים חופפים.
הוכחת שוויון קטעים באלכסוני תרשש: משולש ABC חופף למשולש BDC. לכן, לפי חפיפות, PA=TB.
הוכחת תכונת המשושים בתרשש אלכסוני: האלכסונים יוצרים שני משושים שכל צלע בהם שווה בהתאם לחפיפות המשולשים ולזוויות השוות. משושים אלה שווי שוקעים ומרכז התכונה הוא שאין חיתוך בין האלכסונים בחלקים אלו.

הפריט הקודם הפריט הבא

ג6. גיאומטריה המרובעים

ניווט לפי נושאים

גיאומטריה

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא הקטעים PA ו-TB שווים

תרשש ABCD עם אלכסונים AC ו-BD

משולשים ABC ו-BDC חופפים

זוויות C1 ו-D1 שוות

הרעיון המרכזי

PA שווה ל-TB

נבנה משוואה

מפשטים

פתרון מפורט

משולשים חופפים

חפיפת משולשים מחייבת שוויון קטעים

שוויון קטעים

סיכום המסקנה

פתרונות כלליים