שיעור בנושא מרובעים, בעיקר מקבילית, הכולל הגדרות, ניתוח זוויות ואורך אלכסונים, תוך התרעה על טעויות נפוצות בהבנת תכונות המרובעים.
להכיר ולהבין את ההגדרה של מקבילית.
לנתח זוויות במקבילית, במיוחד זוויות חד-צדדיות.
להבין ולהוכיח שצלעות נגדיות במקבילית שוות.
להבין תכונות האלכסונים במקבילית – האם הם שווים, חוצים או מאונכים.
לזהות טעויות נפוצות בהנחות לגבי אלכסונים במרובעים.
הגדרה וסקירת מקבילית: מקבילית מוגדרת כמרובע בעל שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות. ההגדרה מינימליסטית ומאפשרת לבנות את יתר התכונות.
ניתוח זוויות במקבילית: במקבילית הזוויות הסמוכות סכומן 180 מעלות, וזוויות נגדיות שוות. ניתוח זוויות כולל שימוש בזוויות חד-צדדיות ויישום משפטים מוכרים.
השוואת משולשים לצורך סימון צלעות: משתמשים במשולש עם זווית צלע זווית כדי להראות שהמשולשים חופפים וממנו נובע ששתי הצלעות המתאימות שוות.
תכונות האלכסונים במקבילית: האלכסונים במקבילית אינם בהכרח שווים או מאונכים, אך הם חוצים זה את זה. הבנת התכונות נכונה חשובה למניעת טעויות במבחנים.

תרגול קצר

זיהוי תכונות מקבילית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה מקבילית ABCD. הראו כי הצלעות הנגדיות שוות.

מקביליתמשולשים חופפיםצלעות שוות

רמז: חפשו זוג משולשים חופפים בתוך המקבילית.

פתרון מלא

תשובה סופית: הצלעות הנגדיות במקבילית שוות.

נסמן משולשים ABD ו-CBD ונראה שהם חופפים על ידי זווית-צלע-זווית, לכן הצלעות הנגדיות שוות.

בדיקת אלכסונים במקבילית

רמת קושי: בינוני

ממתין

במקבילית ABCD, האם האלכסונים שווים באורכם? הסבירו.

אלכסוניםמקביליתחפיפות

רמז: בדקו את הזוויות במשולשים הנוצרים מהאלכסונים.

פתרון מלא

תשובה סופית: האלכסונים במקבילית אינם בהכרח שווים.

משולשים ADC ו-BDC לא תמיד חופפים כי זוויות שונות, לכן האלכסונים לא בהכרח שווים.

הוכחת סכום זוויות סמוכות במקבילית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הראו שבמקבילית סכום שתי זוויות סמוכות הוא 180 מעלות.

זוויותמקביליתחד-צדדיות

רמז: השתמשו בזוויות חד-צדדיות ונכונות תקן זווית ישרה.

פתרון מלא

תשובה סופית: סכום זוויות סמוכות במקבילית הוא 180 מעלות.

בהינתן שני זוגות קווים מקבילים, הזוויות החד-צדדיות נוספות ל-180 מעלות, מה שמוכיח את המשפט.

בחינת תכונות האלכסונים במקבילית

רמת קושי: בגרות

ממתין

במקבילית ABCD, הראו מדוע האלכסונים חוצים זה את זה ולא שווים בהכרח באורכם.

אלכסוניםמקביליתחפיפותבגרות

רמז: נתבונן במשולשים שנוצרים מחציית האלכסונים ונשתמש בחפיפות.

פתרון מלא

תשובה סופית: האלכסונים חוצים זה את זה אבל לא בהכרח שווים באורך.

אלכסונים חוצים זה את זה כי נוצרות זוגות משולשים חופפים חלקית, אך לא תמיד שווים כי זוויות אינן שוות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: הצלעות הנגדיות במקבילית שוות

הנחות, ניתוח והוכחה צעד צעד

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא להראות כי AB = CD ו- BC = AD
נתון 1
ABCD היא מקבילית
נתון 2
לפי הגדרה, שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות
רעיון
הרעיון המרכזי
להראות שהמשולשים שנוצרים מהאלכסון חופפים באמצעות זווית-צלע-זווית.
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
משפט חפיפות זווית-צלע-זווית: זווית ABD = זווית CBD, BD משותף, זווית ADB
משפט חפיפות זווית-צלע-זווית: זווית ABD = זווית CBD, BD משותף, זווית ADB = זווית CDB.
פישוט
מכיוון שהמשולשים חופפים, הצלעות ההופכות שוות: AB = DC ו-AD = BC.
מכיוון שהמשולשים חופפים, הצלעות ההופכות שוות: AB = DC ו-AD = BC.
תוצאה
מסיימים בתשובה
בדיקת ההנחות והמשפטים הקודמים לוודא שאין טעויות.

עונה לשאלת התרגיל ומאמת את תכונת המקבילית.

AB=DC ו-AD=BC במקבילית ABCD.

פתרונות כלליים

זיהוי תכונות מקבילית: נסמן משולשים ABD ו-CBD ונראה שהם חופפים על ידי זווית-צלע-זווית, לכן הצלעות הנגדיות שוות.
בדיקת אלכסונים במקבילית: משולשים ADC ו-BDC לא תמיד חופפים כי זוויות שונות, לכן האלכסונים לא בהכרח שווים.
הוכחת סכום זוויות סמוכות במקבילית: בהינתן שני זוגות קווים מקבילים, הזוויות החד-צדדיות נוספות ל-180 מעלות, מה שמוכיח את המשפט.
בחינת תכונות האלכסונים במקבילית: אלכסונים חוצים זה את זה כי נוצרות זוגות משולשים חופפים חלקית, אך לא תמיד שווים כי זוויות אינן שוות.

הפריט הקודם הפריט הבא

ג1. גיאומטריה המרובעים

ניווט לפי נושאים

גיאומטריה

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא להראות כי AB = CD ו- BC = AD

ABCD היא מקבילית

לפי הגדרה, שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

משפט חפיפות זווית-צלע-זווית: זווית ABD = זווית CBD, BD משותף, זווית ADB

מכיוון שהמשולשים חופפים, הצלעות ההופכות שוות: AB = DC ו-AD = BC.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת המקבילית

יצירת משולשים להשוואה

הוכחת צלעות וזוויות במשולשים

המשולשים חופפים, צלעות שוות

וידוא נכונות ההוכחה

סיכום התוצאה

פתרונות כלליים