MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · גיאומטריה

ב4. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
7 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א8. גיאומטריה - סוגי משולשים

וידאו

ב1. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב2. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב3. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב4. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב5. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב6. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב7. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ג1. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג2. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג3. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג4. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג5. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג6. גיאומטריה המרובעים

סיכום שיעור

  • בשיעור זה לומדים על התכונות וההוכחות של קטעים מיוחדים במשולש, עם דגש על הנך האמצעי, חפיפת משולשים, ותכונות המשולש השווה שוקיים.
  • להבין מהו הנך האמצעי במשולש
  • להכיר את טענת החפיפה לצלע-זווית-צלע
  • להסביר מתי גובה ותיכון מתלכדים במשולש שווה שוקיים
  • להכין הוכחות באמצעות משפטים גאומטריים
  • להבין את משפט הנך האמצעי על שוויון מרחקים
  • להכיר את הצורה הגאומטרית דלטון ומשמעותה
  • הגדרה של הנך האמצעי: מתארים את קטע AB, מסמנים את אמצעו X, ומתרגלים הרמת אנך במרכז הקטע, מה שיוצר הנך אמצעי שהוא קטע היוצא באמצע הקטע ובמאונך אליו.
  • הוכחת שוויון AP ו-PB: הצגנו מספר הוכחות שונות שמבוססות על חפיפת משולשים, על כך שהגובה והתויכון מתלכדים במשולש שווה שוקיים, ועל משפט הנך האמצעי שמבטיח שוויון מרחקים מקצות הקטע.
  • משפט הנך האמצעי ויישומו: משפט הנך האמצעי קובע כי נקודות עליו נמצאות במרחקים שווים מקצות הקטע. תכונה זו מאפשרת הוכחות מהירות ונכונות במסגרת גיאומטרית ועוזרת לזהות משולשים שווי שוקיים ודלטון.

תרגול קצר

הוכחת שוויון AP ו-PB בהנך אמצעי

רמת קושי: קל

ממתין

במשולש ישר זווית עם קטע AB, מסומן X כאמצע הקטע, ומשורטט הנך האמצעי היוצא מ-X לפסגה P. הוכח כי AP שווה ל-PB.

נך אמצעיחפיפותמשולשיםשווה

רמז: השתמש בחפיפת משולשים וצלע משותפת.

פתרון מלא

תשובה סופית: AP = PB

נסמן את נקודת האמצע X בקטע AB. נרצה להוכיח במשולשים APX ו-PBX שהן חופפים לפי צלע-זווית-צלע: הצלעות AX ו-BX שוות (כי X באמצע), הזווית בנקודת X היא זווית ישרה (כי הנך האמצעי בנוי במאונך), והצלע המשותפת PX. לכן, המשולשים חופפים והקצעים AP ו-PB שווים.

הוכחת משולש שווה שוקיים מגובה ותיכון מתלכדים

רמת קושי: בינוני

ממתין

במשולש שווה שוקיים, הגובה והתיכון היוצאים מאותה נקודה מתלכדים. הוכח זאת.

גובהתיכוןמשולש שווה שוקיים

רמז: השתמש בהגדרת תיכון והגובה ובהנחה של שוויון שוקיים.

פתרון מלא

תשובה סופית: הגובה והתיכון מתלכדים במשולש שווה שוקיים

נתון שמשולש שווה שוקיים, כך שהקצוות שווים. הגובה מתאריך את הזווית לרגל בנקודה הנגדית ואילו התיכון מחלק את הבסיס לשניים שווים. מאחר והבסיס שווה והגובה מאונך לבסיס, ההידוק בין הגובה לתיכון מחייב שהם אותו קטע, כלומר הם מתלכדים.

הוכחת שוויון מרחקים מנקודה על הנך האמצעי

רמת קושי: בגרות

ממתין

במשולש נתון קטע AB ונקודה P על הנך האמצעי היוצא ממרכז AB. הוכח כי המרחקים AP ו-PB שווים.

משפט הנך האמצעימרחקים שוויםמשולש שווה שוקיים

רמז: השתמש במשפט הנך האמצעי ובתכונות משולש שווה שוקיים.

פתרון מלא

תשובה סופית: AP = PB

מסמנים את נקודת האמצע X על AB. מאחר ו-P על הנך האמצעי היוצא מ-X ואנכי ל-AB, הנקודות P, A, ו-B יוצרות משולש שבו Segments AP ו-PB הם שוות בגודלם כיוון שהמשולשים הממוקמים על בסיס AB הם שווי שוקיים על ידי הנך האמצעי שיצרתי.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

הוכחת שוויון קטעים בהנך האמצעי

הוכחת AP = PB לקטע עם הנך אמצעי

8 תחנות4 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא להוכיח ש-AP = PB

  2. נתון 1

    AB קטע עם נקודת אמצע X

  3. נתון 2

    P נקודה על הנך האמצעי היוצא מנקודת X

  4. נתון 3

    הנך האמצעי יוצא מאמצע הקטע ובמאונך לו

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להשתמש בחפיפת משולשים והגדרת הנך האמצעי כדי להראות שוויון קטעים.

  6. נוסחה

    נכתוב ייצוג מתמטי

  7. משוואה

    משולשים APX ו-PBX חופפים לפי צזצ: AX = BX, זווית שמורה ו-PX משותפת.

    משולשים APX ו-PBX חופפים לפי צזצ: AX = BX, זווית שמורה ו-PX משותפת.

  8. פישוט

    מסקנה: AP = PB כתוצאה מחפיפת המשולשים.

    מסקנה: AP = PB כתוצאה מחפיפת המשולשים.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

קביעת נתוני הבעיה

מה עושים

נגדיר נקודת אמצע X בקטע AB ונקודה P על הנך האמצעי היוצא מ-X.

למה

מאפשר להצביע על המאפיינים הגאומטריים הנדרשים להוכחה.

נבחר נקודת אמצע X שמחלקת את AB לשני חלקים שווים ונסמן P על הקו האנכי ל-AB העובד מ-X.

2

בחירת שיטה

זיהוי משולשים בחפיפה

מה עושים

נבחן את המשולשים APX ו-PBX וננסה להוכיח חפיפה ביניהם.

למה

הוכחת החפיפה תוביל לשוויון הקטעים AP ו-PB.

המשולשים משותפים את הצלע PX ויש להם צלעות AX ו-BX שוות וזוויות ישרות בנקודת X.

חפיפה לפי צלע-זווית-צלע היאדרך טובה להוכחות מהירות

3

בניית משוואה

הכרה בחפיפת משולשים

מה עושים

משולשים APX ו-PBX חופפים לפי צזצ: AX = BX, זווית שמורה ו-PX משותפת.

למה

זוהי ההוכחה המרכזית לשוויון הצדדים.

הזווית ב-X היא 90 מעלות, וקטעים AX ו-BX שווים כי X הוא אמצע AB.

4

פתרון

קביעה סופית של שוויון קטעים

מה עושים

מסקנה: AP = PB כתוצאה מחפיפת המשולשים.

למה

חפיפת משולשים מבטיחה שוויון הצלעות המתאימות בהן.

לכן המרחקים מקצה הקטע לנקודה P על ההנך האמצעי שווים.

פתרונות כלליים

  • הוכחת שוויון AP ו-PB בהנך אמצעי: נסמן את נקודת האמצע X בקטע AB. נרצה להוכיח במשולשים APX ו-PBX שהן חופפים לפי צלע-זווית-צלע: הצלעות AX ו-BX שוות (כי X באמצע), הזווית בנקודת X היא זווית ישרה (כי הנך האמצעי בנוי במאונך), והצלע המשותפת PX. לכן, המשולשים חופפים והקצעים AP ו-PB שווים.
  • הוכחת משולש שווה שוקיים מגובה ותיכון מתלכדים: נתון שמשולש שווה שוקיים, כך שהקצוות שווים. הגובה מתאריך את הזווית לרגל בנקודה הנגדית ואילו התיכון מחלק את הבסיס לשניים שווים. מאחר והבסיס שווה והגובה מאונך לבסיס, ההידוק בין הגובה לתיכון מחייב שהם אותו קטע, כלומר הם מתלכדים.
  • הוכחת שוויון מרחקים מנקודה על הנך האמצעי: מסמנים את נקודת האמצע X על AB. מאחר ו-P על הנך האמצעי היוצא מ-X ואנכי ל-AB, הנקודות P, A, ו-B יוצרות משולש שבו Segments AP ו-PB הם שוות בגודלם כיוון שהמשולשים הממוקמים על בסיס AB הם שווי שוקיים על ידי הנך האמצעי שיצרתי.
הפריט הקודםהפריט הבא