MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · גיאומטריה

ב2. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
5 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א6. גיאומטריה - סוגי משולשים

וידאו

א7. גיאומטריה - סוגי משולשים

וידאו

א8. גיאומטריה - סוגי משולשים

וידאו

ב1. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב2. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב3. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב4. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב5. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב6. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ב7. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

וידאו

ג1. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג2. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג3. גיאומטריה המרובעים

וידאו

ג4. גיאומטריה המרובעים

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בתיכונים במשולש: הגדרה, תכונות חשובות, ומשפטים מרכזיים. מוצגות תכונות שאינן משפטים ודורשות הוכחה, ונתונים שלושה משפטים מרכזיים בחקר תיכונים, כולל מרכז הכובד ויחסי קטעים בתיכון.
  • להכיר את הגדרת התיכון במשולש
  • להבין את תכונות התיכון והשפעתו על שטחי המשולשים
  • להכיר ולהבין את שלושת המשפטים המרכזיים על תיכונים במשולש
  • לשינון נקודת מפגש התיכונים (מרכז הכובד) ויחסי החלוקה בתיכון
  • להכיר התייחסות לתכונות במשולש שדורשות הוכחה בבגרות
  • להיות מסוגל לסרטט ולנתח תמונות גיאומטריות של תיכונים במשולש
  • הגדרת התיכון: תיכון הוא קטע שיוצא מקודקוד המשולש אל אמצע הצלע שמולו.
  • תכונות של התיכון: התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים בעלי שטח שווה, וזאת באמצעות הוכחה פשוטה.
  • משפטים מרכזיים על תיכונים: שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת, נקראת מרכז הכובד, והתיכון מתחלק בנקודת המפגש ביחס 2:1.

תרגול קצר

הוכחת שווי השטח של המשולשים על ידי תיכון

רמת קושי: קל

ממתין

נתון משולש ABC עם תיכון AD. הוכח שהמשולשים ABD ו-ADC שווי שטח.

תיכוןשטחמשולש

רמז: הורד גובה למשולשים ABD ו-ADC המשותף לשתי הצלעות AB ו-AC, והשווה שטחים באמצעות גובה זה.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח ABD = שטח ADC

1. נסמן את הגובה מהנקודה B או C על התיכון AD או לצלע המתאימה.\n2. שטח המשולש ABD הוא חצי כפול אורך הבסיס AD כפול הגובה.\n3. שטח המשולש ADC הוא חצי כפול אותו אורך AD כפול אותו הגובה.\n4. לכן, השטחים שווים.

מציאת נקודת מרכז הכובד בתיכון

רמת קושי: בינוני

ממתין

במשולש ABC, שני תיכונים AE ו-BF נפגשים בנקודה G. הוכח ש-G מחלק את כל התיכונים ביחס 2:1 החל מהקודקוד.

מרכז הכובדיחסתיכון

רמז: השתמש במשפט על מפגש התיכונים והגדר את היחס בגודלי הקטעים.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת המפגש מחלקת כל תיכון ביחס 2:1

1. נזכיר שכמו במשפט מרכז הכובד, נקודת המפגש מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 מתחילת הקודקוד.\n2. נבחר את התיכון AE ונגדיר את קטעי AE כך ש-AG חלק גדול מ-EG ביחס 2:1.\n3. נעשה זאת לכל התיכונים כדי להראות שפועלים באותו יחס.

הוכחת נקודת מפגש תיכונים על פי חלקי התיכון

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתון תיכון AD במשולש ABC ועליו נקודה G שמחלקת אותו ביחס 2:1 מקודקוד A. הוכח ש-G היא נקודת מפגש התיכונים של המשולש.

תיכוןהתפלגותמשפט

רמז: השתמש במשפט שמזהה נקודת מפגש תיכונים לפי יחס החיתוך על התיכון.

פתרון מלא

תשובה סופית: G היא נקודת מפגש התיכונים של המשולש

1. נתון כי G מחלק את AD ביחס 2:1 מקודקוד A.\n2. לפי המשפט, נקודה כזו היא נקודת מפגש התיכונים במשולש.\n3. מכאן שממשיכים לתיכון הבא דרך G מתקבלת חפיפה בין התיכונים.

בחן - חישוב יחס קטעי תיכון בנקודת מפגש

רמת קושי: בגרות

ממתין

במשולש ABC, AE, BF ו-CD הם תיכונים ונקודת המפגש שלהם היא G. אם AG=8 ס"מ, חשב את אורך GD.

תיכוןיחסמרכז הכובד

רמז: השתמש ביחס החלוקה 2:1 מנקודת המפגש.

פתרון מלא

תשובה סופית: GD = 4 ס"מ

AG ו-GD מתחלקים ביחס 2:1, כלומר AG הוא כפול 2 מ-GD. לכן GD=AG/2=4 ס"מ.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תמרון בסיסי בתיכון

הוכחת שווי השטח של שני משולשים שנוצרו מתיכון

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא הוכח ששני המשולשים ABD ו-ADC שווי שטח

  2. נתון 1

    משולש ABC

  3. נתון 2

    AD הוא תיכון המייצג קטע מהקודקוד A לאמצע הצלע BC

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לחשב ולהשוות את שטחי שני המשולשים באמצעות גובה משותף ובסיסים שווים.

  5. נוסחה

    שטח ADC = חצי כפול בסיס AD כפול אותו הגובה

    שטח ADC = 1/2 * AD * גובהS_ADC = (1)/(2) x AD x h
  6. משוואה

    שטח ABD = חצי כפול בסיס AD כפול גובה

    שטח ABD = חצי כפול בסיס AD כפול גובה

    שטח ABD = 1/2 * AD * גובהS_ABD = (1)/(2) x AD x h
  7. פישוט

    משווים את שטחי ABD ו-ADC

    משווים את שטחי ABD ו-ADC

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    יש משולש ABC ותיכון AD אל אמצע BC

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הנחת הנתונים

מה עושים

יש משולש ABC ותיכון AD אל אמצע BC

למה

הגדרת התיכון חשובה להבנת נקודת ההתייחסות

נתון כי AD מחלק את BC לשני מקטעים שווים

2

בחירת שיטה

הורדת גובה משותף

מה עושים

מורידים גובה לגובה משותף מהקודקוד A או המתאים

למה

הגובה משמש להשוואת שטחים של המשולשים

הגובה משורטט ונחשב זהה לשני המשולשים

3

בניית משוואה

חישוב שטח משולש ABD

מה עושים

שטח ABD = חצי כפול בסיס AD כפול גובה

למה

שימוש בנוסחת שטח משולש

שטח ABD מחושב באמצעות הבסיס והגובה המצורפים לו

נוסחה / הצבה

שטח ABD = 1/2 * AD * גובהS_ABD = (1)/(2) x AD x h
4

בניית משוואה

חישוב שטח משולש ADC

מה עושים

שטח ADC = חצי כפול בסיס AD כפול אותו הגובה

למה

גובה זהה, בסיס זהה בתיכון

שטח ADC חישוב לפי אותה נוסחה כמו ABD

נוסחה / הצבה

שטח ADC = 1/2 * AD * גובהS_ADC = (1)/(2) x AD x h
5

פתרון

השוואת השטחים

מה עושים

משווים את שטחי ABD ו-ADC

למה

כי הם מחושבים מאותו בסיס ואותו גובה

מכאן נובע שהם שווים בשטחם

השוואה פשוטה של ביטויים זהים

פתרונות כלליים

  • הוכחת שווי השטח של המשולשים על ידי תיכון: 1. נסמן את הגובה מהנקודה B או C על התיכון AD או לצלע המתאימה.\n2. שטח המשולש ABD הוא חצי כפול אורך הבסיס AD כפול הגובה.\n3. שטח המשולש ADC הוא חצי כפול אותו אורך AD כפול אותו הגובה.\n4. לכן, השטחים שווים.
  • מציאת נקודת מרכז הכובד בתיכון: 1. נזכיר שכמו במשפט מרכז הכובד, נקודת המפגש מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 מתחילת הקודקוד.\n2. נבחר את התיכון AE ונגדיר את קטעי AE כך ש-AG חלק גדול מ-EG ביחס 2:1.\n3. נעשה זאת לכל התיכונים כדי להראות שפועלים באותו יחס.
  • הוכחת נקודת מפגש תיכונים על פי חלקי התיכון: 1. נתון כי G מחלק את AD ביחס 2:1 מקודקוד A.\n2. לפי המשפט, נקודה כזו היא נקודת מפגש התיכונים במשולש.\n3. מכאן שממשיכים לתיכון הבא דרך G מתקבלת חפיפה בין התיכונים.
  • בחן - חישוב יחס קטעי תיכון בנקודת מפגש: AG ו-GD מתחלקים ביחס 2:1, כלומר AG הוא כפול 2 מ-GD. לכן GD=AG/2=4 ס"מ.
הפריט הקודםהפריט הבא