שיעור המסביר את מושג חפיפת המשולשים ומציג ארבעה משפטי חפיפה עם ההגדרות, תנאים ומסקנותיהם, תוך דגש על הצלעות והזוויות במצבים שונים במשולש.
להבין את הגדרת חפיפת משולשים
להכיר את ארבעת משפטי החפיפה: צלע-צלע-צלע, צלע-זווית-צלע ועוד
להבין כיצד להסיק מסקנות בין צלעות וזוויות במשולשים חופפים
לתרגל ניתוח ציורים של משולשים חופפים
ליישם את משפטי החפיפה לפתרון בעיות גיאומטריה
מבוא לחפיפת משולשים: הסבר על מהות חפיפת משולשים: שוויון מלא של הצלעות והזוויות בין שני משולשים.
משפטי חפיפה שונים: הצגת ארבעה משפטי חפיפה וניסוח תנאיהם המקנים חפיפה בין משולשים פשוטים.
מסקנות מהחפיפה: מה ניתן להסיק על צלעות וזוויות במצב של משולשים חופפים.

תרגול קצר

זיהוי חפיפה במשולשים פשוטים

רמת קושי: קל

ממתין

בציור נתונות שתי משולשים עם צלעות שוות בדיוק שלוש, האם המשולשים חופפים? נמקו.

חפיפת משולשיםמשפט צלע-צלע-צלעבסיסי

רמז: בדקו אם כל שלושת הצלעות שוות בהתאמה, ואז השתמשו במשפט המתאים.

פתרון מלא

תשובה סופית: כן, המשולשים חופפים לפי משפט צלע-צלע-צלע.

כיוון שכל שלושת הצלעות שוות בהתאמה, לפי משפט צלע-צלע-צלע המשולשים חופפים.

הוכחת חפיפה עם שתי צלעות וזווית כלואה

רמת קושי: בינוני

ממתין

במשולש ABC ובמשולש DEF ידוע ש-AB=DE, BC=EF, והזווית בין AB ל-BC שווה לזווית בין DE ל-EF. הוכח שהמשולשים חופפים.

חפיפת משולשיםמשפט צלע-זווית-צלעבינוני

רמז: השתמשו במשפט צלע-זווית-צלע.

פתרון מלא

תשובה סופית: המשולשים חופפים לפי משפט צלע-זווית-צלע.

לפי הנתונים, שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן שוות בהתאמה, לכן לפי משפט צלע-זווית-צלע המשולשים חופפים.

הוכחת חפיפת משולשים במצב של זווית גדולה מול הצלע הגדולה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

במשולשים ABC ו-DEF, הצלע AB=DE, הצלע BC=EF, והזווית ב-ABC גדולה מזו שב-DEF אך שניהם מתאימים לשמש זווית מול הצלע הגדולה בין AB ו-BC. הוכיחו האם המשולשים חופפים.

חפיפת משולשיםמשפט צלע-צלע-זווית מיוחדמתקדם

רמז: שים לב לתנאי מיוחד של משפט צלע-צלע-זווית שבו הזווית הגדולה חייבת להיות מול הצלע הגדולה.

פתרון מלא

תשובה סופית: המשולשים חופפים לפי משפט צלע-צלע-זווית עם הזווית הגדולה מול הצלע הגדולה.

מאחר שהזווית הגדולה במשולש היא מול הצלע הגדולה כפי שהתנאי דורש, ועל פי צלע-צלע-זווית (עם תנאי הזווית הגדולה) ניתן להסיק שהמשולשים חופפים.

בחינת חפיפת משולשים בנסיבות משתנות

רמת קושי: בגרות

ממתין

באיור מצוינים שני משולשים עם נתוני צלעות וזוויות שונים. האם ניתן לקבוע חפיפה ביניהם? פרטו כל משפט חפיפה שניתן להיעזר בו להסקת מסקנה.

בגרותחפיפת משולשיםבחינה

רמז: בדקו כל משפט חפיפה והאם הנתונים מקיימים את תנאי החפיפה שלו.

פתרון מלא

תשובה סופית: בהתאם לנתונים, ניתן לקבוע חפיפה על פי המשפט המתאים או שאין חפיפה אם לא מתקיימים התנאים.

יש לבדוק את הנתונים מול משפטי החפיפה. אם קיימים שלושה צלעות שוות - צלע-צלע-צלע; אם שתי צלעות וזווית כלואה - צלע-זווית-צלע; אם שתי זוויות וצלע ביניהן - זווית-צלע-זווית; ואם צלע, צלע, זווית, כשהזווית היא הגדולה מול הצלע הגדולה - צלע-צלע-זווית.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

כיצד להוכיח חפיפת משולשים במשפט צלע-זווית-צלע

מדריך שלבים פשוט להוכחת חפיפת משולשים

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא להוכיח שהמשולשים ABC ו-DEF חופפים
נתון 1
נתון 1
AB=DE
נתון 2
נתון 2
BC=EF
נתון 3
הזווית בין AB ל-BC במשולש ABC שווה לזווית בין DE ל-EF במשולש DEF
רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש במשפט צלע-זווית-צלע שמבטיח חפיפת משולשים במצב הנתון.
נוסחה
כתוב את השוויונות בין הצלעות והזווית
AB = DEBC = EFזווית ABC = זווית DEF∠ABC = ∠DEFABC = DEF
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
מסקנה שהמשולשים חופפים לפי המשפט המתאים
מסקנה שהמשולשים חופפים לפי המשפט המתאים

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתונים ראשוניים

מה עושים

רשום את הצלעות והשוויות הנתונות

למה

כדי לזהות את הנתונים הבסיסיים לזיהוי חפיפה

AB שווה ל-DE, BC שווה ל-EF, והזווית בין AB ל-BC שווה לזו שבין DE ל-EF

ודא שהזווית היא הכלואה בין שתי הצלעות שוות.

בחירת שיטה

בחירת משפט החפיפה

מה עושים

בחר את המשפט המתאים לפי הנתונים שניתנו

למה

משפט צלע-זווית-צלע מתאים כאשר שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן שוות

משפט צלע-זווית-צלע קובע חפיפה במצב זה

זכור שהזווית חייבת להיות כלואה בין שתי הצלעות הנתונות.

בניית משוואה

כתיבת תנאי החפיפה

מה עושים

כתוב את השוויונות בין הצלעות והזווית

למה

להדגים במפורש את התנאים הדרושים בין המשולשים

AB = DE BC = EF מֵד זוויות: הזווית בין AB ל-BC שווה לזו שבין DE ל-EF

נוסחה / הצבה

AB = DEBC = EFזווית ABC = זווית DEF∠ABC = ∠DEFABC = DEF

רשום את השוויונות בצורה ברורה ומוסכמת.

פתרון

יישום משפט צלע-זווית-צלע

מה עושים

מסקנה שהמשולשים חופפים לפי המשפט המתאים

למה

כי מתקיימים כל תנאי החפיפה הדרושים למשפט זה

לפי המשפט, המשולשים ABC ו-DEF חופפים

הסכם על כך שהמשולשים חופפים על בסיס התנאים שניתנו.

תשובה

תוצאה סופית

מה עושים

נסח את המסקנה הסופית באופן ברור

למה

להבהיר את התשובה לשאלה

המשולשים ABC ו-DEF חופפים לפי משפט צלע-זווית-צלע

וודא שהתשובה מתאימה לדרישת השאלה.

פתרונות כלליים

זיהוי חפיפה במשולשים פשוטים: כיוון שכל שלושת הצלעות שוות בהתאמה, לפי משפט צלע-צלע-צלע המשולשים חופפים.
הוכחת חפיפה עם שתי צלעות וזווית כלואה: לפי הנתונים, שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן שוות בהתאמה, לכן לפי משפט צלע-זווית-צלע המשולשים חופפים.
הוכחת חפיפת משולשים במצב של זווית גדולה מול הצלע הגדולה: מאחר שהזווית הגדולה במשולש היא מול הצלע הגדולה כפי שהתנאי דורש, ועל פי צלע-צלע-זווית (עם תנאי הזווית הגדולה) ניתן להסיק שהמשולשים חופפים.
בחינת חפיפת משולשים בנסיבות משתנות: יש לבדוק את הנתונים מול משפטי החפיפה. אם קיימים שלושה צלעות שוות - צלע-צלע-צלע; אם שתי צלעות וזווית כלואה - צלע-זווית-צלע; אם שתי זוויות וצלע ביניהן - זווית-צלע-זווית; ואם צלע, צלע, זווית, כשהזווית היא הגדולה מול הצלע הגדולה - צלע-צלע-זווית.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב1. גיאומטריה - קטעים מיוחדים במשולש

ניווט לפי נושאים

גיאומטריה

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא להוכיח שהמשולשים ABC ו-DEF חופפים

נתון 1

נתון 2

הזווית בין AB ל-BC במשולש ABC שווה לזווית בין DE ל-EF במשולש DEF

הרעיון המרכזי

כתוב את השוויונות בין הצלעות והזווית

נבנה משוואה

מסקנה שהמשולשים חופפים לפי המשפט המתאים

פתרון מפורט

נתונים ראשוניים

בחירת משפט החפיפה

כתיבת תנאי החפיפה

יישום משפט צלע-זווית-צלע

תוצאה סופית

פתרונות כלליים